Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
h
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,a)
d
c
+
+
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,d)
V(d)
K
0
(d,a)
d
c
d
a
+… .
(6.17)
Это выражение можно представить и в другом виде:
K
V
(b,a)
=
K
0
(b,a)
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
[
K
0
(c,a)
–
–
i
h
K
0
(c,d)
V(d)
K
0
(d,a)
d
d
+…]
d
c
.
(6.18)
Выражение
K
V
(b,a)
=
K
0
(b,a)
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,a)
d
c
.
(6.19)
что является точным выражением. Мы получили интегральное уравнение, определяющее ядро KV, в случае, когда известно ядро K0 (заметим, что для ситуации, описанной в задаче 6.1, ядро K0 нужно заменить на KU). Следовательно, проблема интегрирования по траекториям сведена нами к решению интегрального уравнения.
Физически этот результат можно интерпретировать следующим образом. Полная амплитуда перехода системы из точки a в точку b посредством любого числа актов рассеяния может быть представлена как сумма двух амплитуд. Первая из них — амплитуда вероятности того, что движение частцы происходит без рассеяния (ядро K0). Вторая — амплитуда перехода, происходящего с одним или большим числом рассеяний. Эта амплитуда выражается последним членом соотношения (6.19). Точка c здесь может мыслиться как точка, в которой происходит последнее рассеяние. Таким образом, система движется от точки a до точки c в потенциальном поле, и это её движение точно описывается ядром KV(c,a). Затем в точке c происходит последнее рассеяние, после чего система совершает переход как свободная (без рассеяний) в точку b. Эта часть движения описывается ядром K0. Все сказанное выше иллюстрируется фиг. 6.3.
Фиг. 6.3. Общий случай.
В случае 1 частица, на которую действует потенциал V, движется от точки a до точки b как свободная; это описывается амплитудой K0(b,a) В случае 2 частица рассеивается на потенциале V один или большее число раз, причём последнее рассеяние происходит в точке c. Движение из точки a в точку c описывается ядром KV(c,a) а из точки c в точку b — ядром K0(b,c). Комбинация этих двух случаев, в которой учтены все положения точки c, охватывает все возможности и даёт для KV(b,a) уравнение (6.19).
Последнее рассеяние
может произойти в любой точке пространства и времени в промежутке между точками a и b, поэтому амплитуда для сложного движения, представленная подынтегральным выражением в последнем члене формулы (6.19), должна быть проинтегрирована по всем возможным положениям точки c.Задача 6.3. Для свободной частицы уравнение (4.29) сводится к следующему:
–
h
i
tb
K
0
(b,a)
+
h^2
2m
^2
x^2b
K
0
(b,a)
=
ih
(t
b
– t
a
)
(x
b
– x
a
)
.
(6.20)
Используя это уравнение и уравнение (6.19), покажите, что ядро KV удовлетворяет дифференциальному уравнению
–
h
i
tb
K
V
(b,a)
+
h^2
2m
^2
x^2b
K
V
(b,a)
+
V(b)
K
V
(b,a)
=
=
ih
(x
b
– x
a
)
(t
b
– t
a
)
.
(6.21)
§ 3. Разложение волновой функции
В § 4 гл. 3 мы ввели понятие волновой функции и рассмотрели некоторые соотношения, связывающие волновые функции и ядра. Соотношение (3.42) показывает, каким образом с помощью ядра, описывающего движение системы в промежутке между двумя моментами времени ta и tb, можно получить волновую функцию для момента tb, если известна волновая функция для более раннего момента времени ta.
Здесь это уравнение нам будет удобно записать в виде
(b)
=
K
V
(b,a)
f(a)
dx
a
,
(6.22)
где f(a) — значение волновой функции в момент времени t=ta [т.е. f(a) — функция точки xa], (b) — волновая функция для более позднего момента времени t=tb 1). Мы предполагаем также, что в промежутке между этими двумя моментами времени система движется в потенциальном поле V, где её движение описывается ядром KV(b,a).
1) Заметим, что наше условие K0(b,a) для tb<ta приводит к тому, что соотношение (6.22) становится непригодным, если tb<ta, однако в области таких значений t мы не будем пользоваться этим соотношением.
Если разложенное в ряд ядро KV [см. формулу (6.18)] подставить в соотношение (6.22), то мы получим разложение в ряд функции (b). Таким образом,
(b)
=
K
0