Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
F'
a,b,c,…
=
F
a,b,c,…
Задача 5.6. Пусть A, B, C — три декартовы компоненты импульса px, py, pz. Каков вид функции a,b,c(x,y,z)? Используя результаты § 2 гл. 5, проверьте соотношения, полученные в § 1 гл. 5.
Задача 5.7. Предположим, что ABC…-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам известна функция a,b,c,…(x,y,z,…),
§ 3. Операторы
Ожидаемые значения. Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией f(x), и мы измеряем величину A; какое среднее значение получится для величины A при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это среднее значение, называемое иногда ожидаемым значением, символом A.
Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин A, B, C, …, причём измерение величины A даёт какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел a, измерение величины A — некоторое значение a, …. Вероятность получить определённый набор a, b, c, … равна |Fa,b,c,…|^2, а вероятность получить для величины A некоторое значение a при любых B, C, … (например, вообще не измеряя последние) равна
P(a)
=
a
b
…
|F
a,b,c,…
|^2
.
(5.39)
Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин b, c, … .
Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины A получается умножением вероятности (5.39) на величину a и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого a. Таким образом,
A
=
a
b
c
…a
|F
a,b,c,…
|^2
.
(5.40)
Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханических задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в § 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвящённых этому вопросу (см., например, [24]).
Операторы. Попытаемся выразить ожидаемое значение величины A непосредственно с помощью исходной волновой функции f(x). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции Fa,b,c,… можно записать как
|F
a,b,c,…
|^2
=
F
*
a,b,c,…
F
a,b,c,…
.
(5.41)
Используя
формулу (5.36), получаемA
=
a
b
c
…a
–
a,b,c,…
(x)
f*(x)
dx
x
x
–
*
a,b,c,…
(x')
f(x')
dx'
=
–
f*(x)
R(x)
dx
.
(5.42)
Во второй строке этого равенства мы обозначили
R(x)
=
–
G
A
(x,x')
f(x')
dx'
,
(5.43)
где
G
A
(x,x')
=
a
b
c
…a
a,b,c,…
(x)
*
a,b,c,…
(x')
.
(5.44)
Соотношение (5.43) говорит о том, что функция R(x) получается из функции f(x) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине A линейного интегрального оператора GA(x,x'). Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде
R
=
Af
,
(5.45)
где символом A обозначен линейный оператор, действующий на функцию f. В данном случае A означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т.е. умножение на функцию GA и интегрирование. Оператор A сопоставлен физической величине A. Используя эти обозначения, можно написать
A
=
–
f*(x)
Af(x)
dx
=
=
–
–
f*(x)
G
A
(x,x')
f(x')
dx
dx'
.
(5.46)
Задача 5.8. Отметим, что из формулы (5.44) следует равенство G*A(x,x') = GA(x',x). Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций g(x) и f(x), каждая из которых стремится к нулю, когда x->±,