Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Пусть Ra и Rb — векторы, соединяющие центр атома с точками, в которых электрон соответственно испускается и регистрируется. В расчётах мы примем, что длина векторов Ra и Rb много больше радиуса атома. Таким образом, мы предполагаем, что атомный потенциал V(r) становится пренебрежимо малым на расстояниях, много меньших, чем |Ra| и |Rb|. Следовательно, большую часть времени пролёта электрон будет двигаться как свободная частица и только вблизи начала координат он испытает действие потенциала.
Первое борновское приближение содержит два члена, из которых нас будет интересовать лишь второй. Первый член, являющийся ядром K0(b,a) для случая
K
(1)
(b,a)
=
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,a)
d
c
=
=
–
i
h
r
T
0
m
2ih(T-t)
3/2
exp
im|Ra– r|^2
2h(T-t)
V(r)
x
x
m
2iht
3/2
exp
im|Rb– r|^2
2ht
d^3r
dt
.
(6.28)
Через r мы обозначили здесь вектор, соединяющий начало координат с точкой c, d^3r — произведение дифференциалов всех компонент вектора r. Интегрирование по переменной t даёт
K
(1)
(b,a)
=
–
i
h
m
2ihT
5/2
T
r
1
ra
–
1
rb
x
x
exp
im
2hT
(r
a
+r
b
)^2
V(r)
d^3r
,
(6.29)
где ra=|Ra– r| и rb=|Rb– r| (см. приложение). Для этих величин мы можем написать
r
a
=R
a
1-
2Ra·r
R^2a
+
r^2
R^2a
1/2
R
a
+i
a
·r,
(6.30)
r
b
=R
b
1-
2Rb·r
R^2b
+
r^2
R^2b
1/2
R
b
– i
b
·r,
(6.31)
где ia и ib —
единичные векторы соответственно в направлениях векторов Ra и Rb (т.е. ia=-Ra/Ra, где Ra=|Ra|). При выводе приближённых соотношений (6.30) и (6.31) мы воспользовались тем фактом, что величина Ra намного больше тех расстояний |r|, на которых нельзя пренебрегать потенциалом V(r).Члены первого порядка по r необходимо удержать лишь в экспоненциальном множителе, поскольку этот множитель особенно чувствителен к малым изменениям фазы. Поэтому мы запишем
(r
a
+r
b
)^2
(R
a
+R
b
)^2
+
2(R
a
+R
b
)
(i
a
·r)
–
(i
b
·r)
.
(6.32)
Используя эти приближения, ядро K(1)(b,a) можно теперь представить в виде
K
(1)
(b,a)
–
i
h
m
2ihT
5/2
T
1
Ra
+
1
Rb
x
x
exp
im
2hT
(R
a
+R
b
)^2
x
x
r
exp
im
hT
(R
a
+R
b
)
(i
a
·r)
–
(i
b
·r)
V(r)
d^3r
.
(6.33)
Физическая интерпретация. Из анализа соотношения (6.33) мы можем получить некоторые физические характеристики движения. За промежуток времени T электрон проходит полное расстояние, равное Ra+Rb. Следовательно, его скорость в течение этого промежутка времени составляет u=(Ra+Rb)/T, его энергия равна mu^2/2, а импульс равен mu. При этом мы предполагаем, что энергия электрона не изменяется в процессе рассеяния. То, что эти значения скорости, энергии и импульса совместимы друг с другом, можно проверить, рассмотрев вид экспоненциального множителя перед интегралом в формуле (6.33). Фаза этого экспоненциального фактора равна im[(Ra+Rb)^2/2hT], поэтому частота, определяемая производной этой фазы по переменной T, составляет
=
m
2h
(Ra+Rb)^2
T^2
.
(6.34)
Если скорость u определена так, как это сделано выше, то энергия будет равна mu^2/2 [ср. соотношение (3.15)].
Дифференцирование фазы по переменной Ra даёт волновое число в точке a
k
=
m
h
Ra+Rb
T
(6.35)
<