Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(b,a)
f(a)
dx
a
–
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,a)
d
c
f(a)
dx
a
+… .
(6.23)
Первый член этого разложения даёт волновую функцию для момента времени tb в предположении, что между ta и tb система остаётся
(b)
=
K
0
(b,a)
f(a)
dx
a
.
(6.24)
Используя это определение, ряд (6.23) можно переписать теперь как
(b)
=
(b)
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
(c)
d
c
+
+
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,d)
V(d)
(d)
d
c
d
d
+… .
(6.25)
Записанный в таком виде ряд теории возмущений называется борновским разложением функции . Если ограничиться только первыми двумя членами (т.е. учесть лишь первый порядок разложения по V), то получим первое борновское приближение. Оно соответствует единичному рассеянию на потенциале V. Это рассеяние происходит в точке c. До этой точки движение системы является свободным и описывается функцией (c), после рассеяния система снова движется как свободная от точки c до точки b и описывается ядром K0(b,c). Интеграл должен быть взят по всем возможным точкам, в которых происходит рассеяние. Когда используются три члена ряда (т.е. учитывается второй порядок по V), результат называется вторым борновским приближением и т.д.
Задача 6.4. Используя соображения, подобные тем, что привели нас к уравнению (6.19), покажите, что волновая функция (b) удовлетворяет интегральному уравнению
(b)
=
(b)
–
i
h
K
0
(b,c)
V(c)
(c)
d
c
.
(6.26)
Это интегральное уравнение эквивалентно уравнению Шрёдингера
–
h
i
x
+
h^2
2m
^2
+
V
=0.
(6.27)
Ограничившись одномерным случаем, покажите, как получить уравнение Шрёдингера из интегрального уравнения (6.27).
§ 4. Рассеяние электрона на атоме
Математическое рассмотрение. Идею метода и формулы теории возмущений мы рассмотрели пока несколько формально. Чтобы выяснить физический смысл этой теории, рассмотрим теперь конкретную задачу о рассеянии быстрого электрона на атоме.
Рассмотрим эксперимент, в котором пучок электронов бомбардирует
мишень из тонкой металлической фольги, а затем попадает на соответствующий счётчик, как это показано на фиг. 6.4.
Фиг. 6.4. Эксперимент с рассеянием электронов.
Электроны, испаряющиеся с электрода в точке a собираются в пучок с помощью коллимирующих отверстий в экранах S и S' и бомбардируют далее мишень из тонкой фольги в точке O. Бо'льшая часть электронов проходит по прямой без рассеяния (если, конечно, их энергия достаточно велика, а мишень достаточно тонкая), но некоторые электроны отклоняются при взаимодействии с атомами мишени и рассеиваются, например, под углом в точку b. Если счётчик в точке a перемещать вверх и вниз, можно установить зависимость между относительным числом рассеяний и углом рассеяния .
Предположим, что энергия рассеивающихся частиц определяется методом измерения времени пролёта. Это означает, что мы фиксируем электрон, вылетающий из источника в некоторый момент времени, скажем t=0, и определяем, какова вероятность того, что он попадает в счётчик через некоторый промежуток времени, равный времени задержки T. Тогда можно непосредственно использовать наше выражение K(b,a), полученное для амплитуды перехода из одного положения в другое за некоторый определённый промежуток времени.
Можно упростить задачу, предположив, что взаимодействие является настолько слабым или фольга настолько тонкой, что каждый электрон будет взаимодействовать, как правило, лишь с одним атомом. Фактически для большинства экспериментов с рассеянием это предположение является весьма реальным. Более того, в целом ряде случаев многократное рассеяние также можно анализировать на основе простого однократного рассеяния на одном атоме. Поэтому мы ограничимся рассмотрением взаимодействий между отдельными электронами и каким-то одним атомом.
Фиг. 6.5. Геометрия задачи с рассеянием.
Электрон выходит из точки a и движется как свободная частица до точки c, где он рассеивается атомным потенциалом V(r). После рассеяния он попадает в счётчик, расположенный в точке b на конце радиуса-вектора Rb, проведённого от рассеивающего центра O. В этом случае электрон будет рассеян на угол , отсчитываемый от начального направления пучка. Этот процесс соответствует первому борновскому приближению. Если учесть амплитуды двух актов рассеяния, то получим второе борновское приближение, и т.д.
Выберем начало координат в центре атома. Пусть в этой системе, как показано на фиг. 6.5, электроны выходят из точки a в момент времени t=0. С помощью счётчика, помещённого в точку b, мы узнаем, достигнет ли электрон точки b в момент времени t=T. Будем приближённо считать, что
1) взаимодействие может быть рассмотрено в первом борновском приближении, т.е. электрон рассеивается на атоме только один раз;
2) атом может быть представлен с помощью потенциала V(r), фиксированного в пространстве и постоянного во времени.
На самом деле атом является очень сложной системой, и взаимодействие между электроном и атомом в действительности гораздо сложнее, чем это может быть представлено простым потенциалом V(r). Электрон может возбудить или ионизовать атом и потерять при этом часть энергии. Можно показать, однако, что когда мы рассматриваем только упругие столкновения электрона с атомом (атом после столкновения остаётся в том же самом энергетическом состоянии, что и до столкновения), то второе предположение будет выполняться, если выполнено первое предположение.