Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
dS
Dx(t)
,
(6.6)
K
(2)
(b,a)
=-
1
2h^2
b
a
exp
i
h
tb
ta
mx^2
2
dt
tb
ta
V[x(s)]
ds
x
x
tb
ta
V[x(s'),s']
ds'
Dx(t)
(6.7)
и
Чтобы не перепутать временны'е переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через s, s' и т.п.
Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро K(1). Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной x и по траектории x(t). Запишем
K
(1)
(b,a)
=-
i
h
tb
ta
F(s)
ds
,
(6.8)
где
F(s)
=
b
a
exp
i
h
tb
ta
mx^2
2
dt
V[x(s),s]
Dx(t)
.
(6.9)
Интеграл по траектории F(s) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда с весом, равным значению потенциала V[x(s),s], вычисленного в момент времени s. Единственная характеристика траектории x(t), от которой зависит потенциал V, — это положение траектории в некоторый момент времени t=s. Другими словами, до и после этого момента s содержащаяся в функционале F(s) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы. Все вышесказанное поясняет фиг. 6.1.
Фиг. 6.1. Движение с одним рассеянием.
Частица выходит из точки a и двигается как свободная до точки c. Здесь на неё действует потенциал Vc=V[x(s),s], происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки b. Амплитуда, описывающая такое движение, даётся выражением (6.10). Если эту амплитуду проинтегрировать по всем возможным положениям точки c, то получим член первого порядка теории возмущений.
Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту t=s, и часть, которая соответствует более позднему времени.
Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку xc именно в этот момент времени t=s. Далее мы проинтегрируем по всем значениям xc. Если точку xc(s) обозначить через c (т.е. положить s=tc), то сумму по всем таким траекториям можно записать как K0(b,c)K0(c,a). Это означает, что функционал F(s)=F(tc) можно представить в виде
F(t
c
)
=
–
K
0
(b,c)
V(x
c
,t
c
)
K
0
(c,a)
dx
c
.
(6.10)
Подстановка
этого выражения в соотношение (6.8) даётK
(1)
(b,a)
=-
i
h
tb
ta
–
K
0
(b,c)
V(c)
K
0
(c,a)
dx
c
dt
c
,
(6.11)
где V(c)=V(xc,tc).
Пределы интегрирования по x здесь положены равными +. В практических задачах эти пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях x, или свойствами применённых установок, которые ограничивают область изменения x.
Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специально остановимся на его интерпретации. Назовём процесс взаимодействия между потенциальным полем и частицей рассеянием; так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единицу объёма и единицу времени равна– (i/h)V.
Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро KV следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки a в точку b. Эти возможности следующие:
1) частица может вообще не рассеяться
K
(0)
(b,a)
,
2) частица может рассеяться один раз
K
(1)
(b,a)
,
3) частица может рассеяться дважды
K
(2)
(b,a)
и т. д.
В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображены различные траектории частицы.
Фиг. 6.2. Различные случаи рассеяния.
В случае 1 частица под действием потенциала V движется от точки a до точки b, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой K(0)(b,a). В случае 2 частица в своём движении под действием потенциала V испытывает один акт рассеяния в точке c. Этому соответствует амплитуда K(1)(b,a). В случае 3 частица рассеивается дважды [амплитуда K(2)(b,a)], а в случае 4 — n раз, причём последнее рассеяние происходит в точке c. Полная амплитуда, описывающая движение частицы из точки a в точку b при любом числе рассеяний, является суммой K0+K(1)+K(2)+…+K(n)+….