Квантовая механика и интегралы по траекториям

Заметим, что каждая из перечисленных выше альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив ¹). Рассмотрим, например, ядро K⁽¹⁾(b,a), описывающее однократное рассеяние. Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки a, движется свободно до точки x_c(t_c=c), где она рассеивается на потенциале V(c), после чего снова движется как свободная частица из точки c до конечной точки b. Амплитуда, соответствующая такой траетории, равна

K

₍₀₎

(b,c)

–

i

h

V(c)

dx

_c

dt

_c

K

₍₀₎

(c,a)

.

(6.12)

¹) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках C, суммирование по всем альтернативам является совершенно необходимым.— Прим. перев.

(Следует напомнить, что, согласно используемой нами договорённости, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т.е. справа налево.)

Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в § 5 гл. 2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра K⁽¹⁾ получается сложением всех таких альтернатив, т.е. интегрированием по переменным x_c и t_c.

С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро K⁽²⁾ для двухкратного рассеяния в виде

K

⁽²⁾

(b,a)

=

–

i

h

^2

K

₍₀₎

(b,c)

V(c)

K

₍₀₎

(c,d)

x

x

V(d)

K

₍₀₎

(d,a)

d

_c

d

_d

,

(6.13)

где d=dxdt. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки a до точки d и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен V(d). Затем частица снова движется свободно от точки d до точки c, где она рассеивается на потенциале V(c). После чего частица движется от точки c к точке b опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т.е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние.

Здесь мы молчаливо предполагали, что t_c>t_d. Чтобы избежать усложнений, связанных с явным введением этого предположения в каждом, примере, будем пользоваться условием, введённым ранее в гл. 4 [см. соотношение (4.28)], и предполагать, что

K(b,a)

=0 для t

_b

<t

_a

.

(6.14)

Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным t_c и t_d.

Читателя может заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом 1/2 , который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной t_d по-прежнему заключена в пределах от t_a до t_b. Однако область интегрирования по переменной t_c ограничена тем, что точка t_c обязана теперь находиться между точками t_d и t_b вследствие условия (6.14). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим двойной интеграл (6.7) в виде

_tb

^t_a

_tb

^t_a

V[x(s),s]

V[x(s'),s']

ds'

ds

=

=

_tb

^t_a

_tb

^s

V[x(s),s]

V[x(s'),s']

ds'

ds

+

+

_tb

^t_a

_s

^t_a

V[x(s),s]

V[x(s'),s']

ds'

ds

.

(6.15)

Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как

_tb

^t_a

_tb

^s'

V[x(s),s]

V[x(s'),s']

ds'

ds

(6.16)

Если в этом выражении поменять местами переменные s и s', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выражении для ядра K⁽ⁿ⁾ получается коэффициент 1/n!

Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма U+V, где V мало по сравнению с U. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал U может быть квадратичным по переменной x; и не зависеть от времени). Покажите, что движение под действием суммарного потенциала U+V описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6.14), если ядро K₀ заменить ядром K_U, соответствующим движению только лишь под действием потенциала U. Таким образом, V можно рассматривать как возмущение потенциала U. Можно сказать, что -(i/h)V представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчёте на единицу объёма и на единицу времени). Ядро K_U — амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущённого потенциала U.

Задача 6.2. Предположим, что система состоит из двух частиц, взаимодействие которых описывается потенциалом V(x,y), где x — координата первой, а y — координата второй частицы [ср. § 8 гл. 3 и выражение (3.75)]. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным.

Если потенциал равен нулю, то K_V — просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины K_V(x_b, y_b, t_b; x_a, y_a, t_a). Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда?

§ 2. Интегральное уравнение для ядра K_V

Прежде чем применить результаты предыдущих параграфов к изучению конкретных примеров, получим некоторые общие математические соотношения, включающие ядра и волновые функции для систем, движущихся в потенциальном поле. Используя предыдущие результаты, можно записать соотношение (6.4) в виде

K

_V

(b,a)

=

K

₀

(b,a)

–

i