Новый Мир ( № 11 2007)

Пифагор и пифагорейцы, с их мистическим отношением к числам, считали натуральные числа мерилом всех вещей, выразителями мирового порядка и основой материального бытия. Их занимала мысль об универсальной единице измерения длин. То есть о таком едином отрезке, который в каждом другом отрезке укладывался бы целое число раз. Прежде всего они пришли к пониманию, что такого единого отрезка не существует. Это сейчас его отсутствие кажется очевидным, тогда же осознание этого факта было подлинным открытием. Но оставался вопрос, существует ли подобный измеряющий отрезок не для всех отрезков сразу, а свой для каждых двух отрезков. Для ясности сформулируем проблему более развёрнуто. Представим себе два каких-то отрезка. Их общей мерой называется такой отрезок, который в каждом из них укладывается целое число раз. Скажем, если второй из наших двух отрезков составляет треть первого, то этот второй отрезок и будет общей мерой: действительно, в первом отрезке он укладывается три раза, а во втором — один. Отрезок, составляющий одну шестую нашего первого отрезка, будет укладываться в нём шесть раз, а во втором два раза, так что он также будет их общей мерой. Легко предъявить пару отрезков, для которых их общая мера будет укладываться в первом отрезке шесть раз, а во втором — пять; другая общая мера тех же отрезков будет укладываться в первом из них восемнадцать, а в другом пятнадцать раз. Теперь спросим себя, для любых ли двух отрезков существует их общая мера. Ответ неочевиден. В школе Пифагора был получен следующий поразительный результат: если взять какой-либо квадрат, а в нём его сторону и его диагональ, то окажется, что эта сторона и эта диагональ не имеют общей меры! Говорят, что диагональ квадрата и его сторона несоизмеримы . А соизмеримыми как раз и называются такие два отрезка, которые имеют общую меру.

Сегодня трудно себе представить силу эмоционального потрясения, испытанного, по дошедшим до нас из глубины веков сведениям, пифагорейцами, когда они обнаружили, что бывают несоизмеримые отрезки. Рассказывают, что они принесли в благодарственную жертву богам около сотни быков (и с тех пор, как выразился кто-то, скоты всегда ревут, когда открывается новая истина). Рассказывают также, что пифагорейцы поклялись никому не сообщать о своём открытии. (Современная аналогия: по распространённому мнению, в наши дни велено скрывать от публики свидетельства о летающих тарелках. Я относил это мнение к числу предрассудков — и был неправ: в марте 2007 года было объявлено, что Франция рассекречивает собиравшиеся десятилетиями данные о неопознанных летающих объектах.) По одной из легенд — возможно, придуманной самими пифагорейцами в острастку другим нарушителям, — нашёлся преступивший клятву, и он был убит.

Оценивая открытие несоизмеримых отрезков с современных позиций, по прошествии двух с половиной тысяч лет, можно усмотреть два имеющих общекультурное значение аспекта этого открытия.

Первый общекультурный аспект открытия несоизмеримости заключается в том, что впервые было доказательно установлено отсутствие чего-то — в данном конкретном случае общей меры стороны и диагонали одного и того же квадрата. Произошёл один из самых принципиальных поворотов в интеллектуальном развитии человечества. В самом деле, доказать, что что-то существует, можно, предъявив это «что-то». Например, если бы гипотеза Ферма оказалась неверна, то для её опровержения достаточно было бы предъявить тройку Ферма. Но как доказать, что чего-то нет? Если искомое «что-то» заведомо содержится в известной и ограниченной совокупности, то, вообще говоря, можно перебрать все элементы этой совокупности и убедиться, что ни один из них нам не подходит. Но что делать, если искать наше «что-то» надлежит в совокупности необозримой? А именно эта ситуация и имеет место при поиске общей меры: ведь искать её приходится в необозримой совокупности всех мыслимых отрезков. Остаётся единственный способ: доказывать отсутствие не путём непосредственного наблюдения, а путём логического рассуждения. Такой способ и был применён пифагорейцами.

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали в школе Пифагора, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. От старых времён дошло до нас чисто геометрическое, и притом чрезвычайно изящное, доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным доказательством — это неизвестно. Сейчас наиболее популярно сведбение вопроса к вопросу из теории чисел. Именно используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2 x 2= y 2. (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения икса и игрека дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а очень надо бы: на этом примере демонстрируется и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности происходит очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой части доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y , что 2 x 2 = y 2. Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. В первой части используется прямая теорема Пифагора: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне какое-то число x раз, а в диагонали какое-то число y раз; тогда по теореме Пифагора 2 x 2 = y 2. Во второй части используется обратная теорема Пифагора: если найдутся такие целые числа x и y , что 2 x 2 = y 2, то по этой обратной теореме треугольник с длинами сторон x , x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y . Таким образом, великое пифагорейское открытие было не только замечательным само по себе, но и проложило дорогу к установлению отсутствия решений у уравнений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решения (в целых числах, как в нашем примере, или в действительных числах, как уравнение x 2 = -1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2 x 2 = y 2 настолько просто, что доступно школьнику младших классов; боюсь, что в школах его не излагают.

Разговор о несуществованиях решений мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизме­римости. Этот второй аспект заключается в том, что открытие несоизмеримости привело, хотя и очень не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Глава 4. Длины и числа

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, то есть квадрата со стороной длины единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа, помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.

Давайте осознаем, как возникает понятие длины — с логической точки зрения, но отчасти также и с исторической. Прежде всего, вводится единица измерения, то есть отрезок, длиной которого объявляется число единица. Этот отрезок называется единичным отрезком . Если теперь этот единичный отрезок укладывается в каком-то другом отрезке семь или семьдесят семь раз, то этому другому отрезку приписывается длина семь или, соответственно, семьдесят семь. Таким способом приписываются целочисленные длины всем отрезкам, такую длину имеющим. За бортом указанного процесса остаются все те многочисленные отрезки, в которых единичный отрезок не укладывается конечное число раз. Посмотрим, как обстоит дело с ними. Возьмём какой-нибудь из таких отрезков и предположим, что он соизмерим с единичным. Пусть, для примера, их общая мера укладывается в нашем отрезке 18 раз, а в единичном отрезке 12 раз. Тогда в нашем отрезке укладывается восемнадцать двенадцатых долей единичного отрезка, и ему приписывается длина восемнадцать двенадцатых. Если для двух отрезков найдена их общая мера, то для них всегда можно указать и другие общие меры — и при том в бесконечном количестве. Для рассматриваемого случая таковыми будут, скажем, мера, укладывающаяся в избранном отрезке 180 раз, а в единичном 120 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 9 раз, а в единичном 6 раз; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 6 раз, а в единичном 4 раза; а также мера, укладывающаяся в избранном отрезке 3 раза, а в единичном 2 раза. Следовательно, нашему избранному отрезку можно приписать и длину сто восемьдесят сто двадцатых, и длину девять шестых, и длину шесть четвёртых, и длину три вторых. Именно поэтому дроби 180/ sub 120 /sub , 18/ sub 12 /sub , 9/ sub 6 /sub , 6/ sub 4 /sub и 3/ sub 2 /sub , будучи различными дробями, выражают одно и то же число. Указанные дроби можно трактовать как имена этого числа, то есть как синонимы. Таким образом, длина у отрезка единственна, хотя и именоваться может по-разному.

Числа, выражаемые дробями, называются дробными . Целые и дробные числа объединяются вместе под названием рациональные числа . (Для простоты изложения мы ничего не говорим об отрицательных числах; для наших целей они не нужны, и о них можно просто забыть.) Казалось бы, какие ещё могут быть числа? Но, как мы знаем, диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной. Поэтому если взять квадрат со стороной длины единица, то оказывается, что длина диагонали этого квадрата никаким рациональным числом не выражается. Следовательно, у этой диагонали либо во­все нет длины, либо эта длина выражается числом какого-то нового типа, каковой тип ещё только подлежит введению в рассмотрение. Числа этого нового типа называются иррациональными, вместе с рациональными они образуют систему действительных, или вещественных, чисел. Теперь уже каждый отрезок обретает длину в виде некоторого действительного числа.

Надо иметь в виду, что изложенный взгляд на понятие числа, включающий в объём этого понятия и иррациональные числа, есть взгляд с современной точки зрения. Чтобы прийти к этой точке зрения, потребовались тысячелетия. В древности лишь натуральные числа считались числами. Число понималось как совокупность единиц. Очень постепенно в обиход входили дроби — сперва с числителем единица и небольшим знаменателем, затем числителю уже разрешалось быть ббольшим единицы, но всё-таки непременно меньшим знаменателя, и так далее. Но и дробь не сразу была признана выражающей число, поначалу она трактовалась иначе — как выражающая отношение величин. Открытие явления несоизмеримости привело к осознанию того поразительного факта, что не всякое отношение величин может быть выражено дробью, и, в конечном счёте, к возникновению понятия действительного числа. Возможно, впервые ясное представление о действительных числах сформулировал великий арабский учёный и государственный деятель XIII века Насирэддин Тусби. Рассуждая об однородных величинах (таковыми являются длины, или веса, или объёмы и т. п.) и отношениях величин одного и того же рода, он писал: «Каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов». И наконец, завершающую точку в развитии ясного, хотя всё ещё интуитивного, представления о действительных числах поставил Ньютон в своей «Всеобщей арифметике» (1707): «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трёх видов: целое, дробное и иррациональное. Целое есть то, что измеряется единицей; дробное есть кратное долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».

Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются как всего лишь полезные комментарии. Заключённая в этих комментариях вербализация свидетельствует, что в XIII — XVIII веках понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Постепенно, однако, возрастала потребность не только в интуитивном осознании, но и в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона потому не являются таковыми, что содержашиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним требованиям строгости, появились лишь около 1870 года. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Mбeray; 1835 — 1911). В ег­о жизни было два события, каждое из которых поставило его на почётнейшее первое место в некоторой значимой сфере. В 1854 году Мерэ оказался касбиком — то есть первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (каковую благополучно окончил в st1:metricconverter productid="1857 г" w:st="on" 1857 г /st1:metricconverter .); в первоначальном своём значении слово cacique означает индейского племенного вождя в доколумбовой Латинской Америке. В 1869 году Мерэ опубликовал статью, в которой было впервые дано определение действительного числа и впервые изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе из этих событий остались лишь фактами его биографии. Мерэ имел статус уважаемого, но не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться именно таковым. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. На развитие науки повлияли появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дедекинда (1831 — 1916) и Георга Кантора (1845 — 1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.

У нас здесь нет возможности излагать теории Дедекинда и Мерэ — Кантора. Отметим лишь, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, каковые, в свою очередь, строятся на основе целых чисел. Это обстоятельство дало возможность выдающемуся немецкому математику Леопольду Кбонекеру (1823 — 1891) произнести в 1886 году знаменитую фразу «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk» («Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих»). Возможно, более точным переводом немецкого слова «ganzen» было бы здесь русское слово «натуральные» — потому что не вызывает сомнений, что Кронекер имел в виду не все целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Потому что ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессах пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) в процессах определения количества предметов. Это разные процессы, и они, с философской точки зрения, приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский язык демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть число ноль, а наименьшее считательное число есть число раз (один, единица). Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, то есть ряд натуральных чисел, с нуля, другие же — с единицы.

Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа (а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название: «Was sind und was sollen die Zahlen» — «Что такое числа и каково их назначение»). Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже число, скажем, два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать можно слово «два» — но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как электрон, протон и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда, действовавшем на механико-математическом факультете Московского университета, одним из участников семинара: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»