Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

или с комплексными весами и z

где | ) означает х | ) и т. д. Соответствующим образом мы можем записать приведенные выше комбинации _t + _b, _t— _b, _t+ i _b в виде

| _t ) + | _b ), | _t ) — | _b ), | _t ) + i | _b ), и т. д.

Мы можем также просто умножить одно состояние | ) на комплексное число и получить

| )

(в действительности это — частный случай приведенной выше комбинации состояний с комплексными весами при z = 0).

Напомним, что нам разрешается рассматривать комбинации с комплекснозначными весами и z и в том случае, когда и z — не являются амплитудами вероятности, а лишь им пропорциональны. Соответственно, мы принимаем правило, согласно которому весь вектор состояния можно умножить на отличное от нуля комплексное число, и физическое состояние от этого не изменится. (В результате такого умножения изменились бы значения весов и z , но отношение : z осталось бы неизменным.) Каждый из векторов

представляет одно и то же физическое состояние, как и любой вектор z | ), где z /= 0. Единственный элемент гильбертова пространства, не допускающий интерпретацию как физическое состояние, есть нулевой вектор 0 ( начало координатгильбертова пространства).

Чтобы получить некоторое геометрическое представление этой картины, рассмотрим сначала более привычное понятие «вещественного» вектора. Такой вектор принято изображать просто как стрелку, проведенную на плоскости или в трехмерном пространстве. Сложение двух таких векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 6.19).

Рис. 6.19.Сложение и умножение на скаляры векторов в гильбертовом пространстве можно наглядно представить как соответствующие операции для векторов в обычном пространстве

Операция умножения вектора на положительное (вещественное) число сводится в таком представлении просто к умножению длины рассматриваемой стрелки на заданное число (направление стрелки при этом остается неизменным). Если же мы умножаем стрелку на отрицательное число, то направление стрелки изменяется на противоположное. Если число, на которое требуется умножить стрелку, равно 0, то мы получаем нулевой вектор 0, который не имеет направления. (Вектор 0 представлен «нулевой стрелкой», имеющей нулевую длину.) Одним из примеров векторной величины может служить сила, действующая на частицу. Другими примерами могут служить классические скорости, ускорения и импульсы. Существуют также 4-векторы импульса, которые мы рассматривали в конце предыдущей главы. Это — векторы не в двумерном и не в трехмерном пространстве, а в четырехмерном. Но для гильбертова пространства нам понадобятся векторы с гораздо большим числом измерений (в действительности, часто даже бесконечномерные, но для нас это обстоятельство сейчас несущественно). Напомним, что мы всегда использовали стрелки, чтобы изобразить векторы в классическом фазовом пространстве, которое могло иметь очень высокую размерность. Говоря об «измерениях» фазового пространства, как и об «измерениях» гильбертова пространства, мы не имеем в виду обычные пространственные направления. Отнюдь! Каждое измерение гильбертова пространства соответствует одному из различных независимых физических состояний квантовой системы.

Вследствие эквивалентности между | ) и z | ), физическое состояние в действительности соответствует целой прямой, проходящей через начало координат0, (или лучу ) в гильбертовом пространстве (описываемом всеми кратными некоторого вектора), а не просто каким-то конкретным вектором, лежащим на этой прямой. Луч состоит из всех возможных кратных некоторого конкретного вектора состояния | ). (Следует иметь в виду, что речь идет о комплексныхкратных, поэтому прямая в действительности представляет собой комплекснуюпрямую, но об этом пока лучше не беспокоиться!) (См. рис. 6.20.)

Рис. 6.20. Физические квантовые состояния описываются лучами в гильбертовом пространстве

Скоро пред нами предстанет весьма изящная картина такого пространства лучей для случая двумерногогильбертова пространства. Другой предельный случай — бесконечномерное гильбертово пространство. Бесконечномерное гильбертово пространство возникает даже в простой ситуации локализации одной частицы. Тогда для каждого возможного положения, которое могла бы занимать частица, существует целое измерение! Каждое положение частицы определяет в гильбертовом пространстве целую «координатную ось», поэтому с учетом бесконечно многих различных положений частицы мы имеем бесконечно много различных независимых направлений (или «измерений») в гильбертовом пространстве. Импульсные состояния также могут быть представлены в том же самомгильбертовом пространстве. Поскольку импульсные состояния представимы в виде комбинаций конфигурационных состояний, то они соответствуют осям, идущим «по диагонали» — наклоненным относительно осей в конфигурационном пространстве. Совокупность всех импульсных состояний дает нам новую систему осей, и переход от осей конфигурационного пространства состояний к осям импульсного пространства состояний сводится к повороту в гильбертовом пространстве.

Не следует пытаться наглядно представить себе это сколько-нибудь точно. Такая попытка была бы неразумной! Однако некоторые идеи, почерпнутые из обычной евклидовой геометрии, могут оказаться очень полезными. В частности, рассматриваемые нами оси ( либо все оси в конфигурационном пространстве состояний, либо все оси в импульсном пространстве состояний) следует считать взаимно ортогональными , т. е. расположенными под «прямыми» углами друг к другу. «Ортогональность» лучей — понятие, важное для квантовой механики. Ортогональные лучи соответствуют состояниям, которые независимы друг от друга. Различные возможные конфигурационные состояния частицы все взаимноортогональны, как и все различные возможные импульсные состояния. Но конфигурационные состояния не ортогональны импульсным состояниям. Весьма схематично эта ситуация представлена на рис. 6.21.

Рис. 6.21.Конфигурационные состояния и импульсные состояния приводят к различному выбору ортогональных осей в одном и том же гильбертовом пространстве

Измерения

Общее правило Rдля измерения(или наблюдения) требует, чтобы различные состояния квантовой системы, которые могут быть одновременно увеличены до классического уровня (на котором система должна выбрать одно из них), всегда должны быть взаимно ортогональны. Набор альтернатив, отобранный в результате полного измерения, образует систему ортогональных базисных векторов. Это означает, что каждый вектор в гильбертовом пространстве может быть (единственным образом) представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Для измерения положения, произведенного над системой, состоящей из одной частицы, такие базисные векторы определяют те самые оси в конфигурационном пространстве состояний, о которых мы уже упоминали. Для измерения импульсаэто был бы другой набор, определяющий оси в импульсном пространстве состояний. Для полного измерения любого другого рода этот набор также был бы другим. После измерения состояние системы скачкомпереходит на одну из осей набора, соответствующего данному измерению, причем выбор оси происходит чисто случайным образом. Не существует динамического закона, который сказал бы нам, какая из осей будет выбрана природой. Ее выбор случаен, а значения вероятности определяются квадратами модулей амплитуд вероятности.

Предположим, что над системой, состояние которой | ), произведено некоторое полное измерение, причем базисом для выбранного измерения служит набор

| 0 ), | 1 ), | 2 ), | 3 )….

Так как эти состояния образуют полный набор, то любой вектор состояния и, в частности, | ) можно представить в виде их линейной комбинации [150]

е в150

Не исключается также и случай, когда эта комбинация представляет собой бесконечнуюсумму векторов. Полноеопределение гильбертова пространства (которое, на мой взгляд, слишком формально для того, чтобы здесь вдаваться в его подробности) включает в себя правила, позволяющие оперировать с такими бесконечными суммами.

| ) = z ₀ | 0 ) + z ₁ | 1 ) + z ₂ | 2 ) + z ₃ | 3 ) +….