Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Геометрически коэффициенты z ₀, z ₁, z ₂…. являются величинами ортогональных проекцийвектора | ) на различные оси | 0 ), | 1 ), | 2 ), | 3 )…. (рис. 6.22).

Рис. 6.22.Величины ортогональных проекций состояния | ) на оси | 0 ), | 1 ), | 2 )…. дают требуемые амплитуды z ₀, z ₁, z ₂….

Сразу возникает желание истолковать комплексные числа z ₀, z ₁, z ₂… как искомые амплитуды вероятности, квадраты модулей которых давали бы различные вероятности того, что после измерения наша система будет находиться, соответственно, в состояниях | 0 ), | 1 ), | 2 ), | 3 )…. Однако этого еще нельзя сделать, пока не определена «шкала» различных базисных векторов | 0 ), | 1 ), | 2 )…. Для этого мы должны оговорить, что в некотором смысле эти векторы являются единичными (т. е. имеют единичную длину), и, таким образом, они образуют так называемый ортонормированныйбазис (элементы которого попарно ортогональныи нормированына единицу) [151] . Если вектор | ) также нормирован на единицу, то искомые амплитуды действительно станут коэффициентами z ₀, z ₁, z ₂…, вектора | ), а вероятности, которые требуется найти, будут равны | z ₀ | ² , | z ₁ | ² , | z ₂ | ² ….. Если | ) — не единичный вектор, то приведенные выше числа пропорциональны, соответственно, искомым амплитудам и вероятностям. Действительные амплитуды будут равны

151

Существует важная операция, называемая скалярнымпроизведением (или внутренним произведением) двух векторов, которая может быть использована для того, чтобы очень просто выразить такие понятия, как «единичный вектор», «ортогональность» и «амплитуда вероятности». (В обычной векторной алгебре скалярное произведение равно ab cos v , где а и b — длины векторов, a v — угол между их направлениями.) Скалярное произведение векторов из гильбертова пространства дает комплексноечисло. Скалярное произведение двух векторов состояния | ) и | X ) записывается в виде | | X ). Для него справедливы алгебраические правила

,

где черта сверху означает комплексное сопряжение. Числом, комплексно сопряженным с z = х + iy , называется

, где х и у — действительные числа; обратите внимание на то, что

.

Ортогональность векторов состояния | ) и | X ) записывается в виде соотношения

Квадрат длины вектора состояния | ) есть величина

поэтому нормировки | ) к единичному вектору представимо в виде

Если «акт измерения» вызывает скачкообразный переход состояния | ) либо в состояние | X ), либо во что-то, ортогональное | X ), то амплитуда этого скачкообразного перехода в состояние | X ) равна ( X | ) в предположении, что | ) и | X ) нормированы. Без нормировки вероятность скачкообразного перехода из | ) в | X ) можно представить в виде

(См. Дирак [1947].)

где | ) — «длина» вектора состояния | ).

Эта «длина» — положительное действительное число, определенное для каждого вектора состояния ( 0имеет нулевую длину), и | | = 1, если | ) — единичный вектор.

Полное измерение представляет собой весьма идеализированный тип измерения. Например, полное измерение положения частицы потребовало бы от нас способности локализовать частицу с бесконечной точностью, где бы во вселенной она ни находилась! К более элементарному типу измерения относится такое измерение, когда мы просто задаем вопрос типа «да или нет», например, такой: «Расположена ли частица справа (или слева) от некоторой прямой?» или «Лежит ли импульс частицы в некотором интервале?» и т. д. Измерения типа «да или нет» в действительности представляют собой наиболее фундаментальный тип измерения. (Например, используя только лишь измерения типа «да или нет», можно сколь угодно близко подойти к точному значению положения или импульса частицы.) Предположим, что результатом измерения типа «да или нет» оказывается ДА. Тогда вектор состояния должен находиться в области « ДА» гильбертова пространства, которую я обозначу Y(от англ. yes — «да». — Прим. ред.). С другой стороны, если результатом измерения типа «да или нет» оказывается НЕТ, то вектор состояния должен находиться в области « НЕТ» гильбертова пространства, которую я обозначу N(от англ. no — «нет». — Прим. ред.). Области Yи Nполностью ортогональны друг другу в том смысле, что любой вектор состояния из области Yдолжен быть ортогонален любому вектору состояния из области N(и наоборот). Кроме того, любой вектор состояния | ) может быть (единственным образом) представлен в виде суммы векторов, принадлежащих каждой из областей Yи N. Если воспользоваться математической терминологией, то можно сказать, что области Yи Nявляются ортогональными дополнениямидруг друга. Таким образом, | ) однозначно представим в виде

| ) = | _Y ) + | _N )

где | _Y ) принадлежит Y, a | _N ) принадлежит N. Здесь | _Y ) означает ортогональную проекциюсостояния | ) на Y, a | _N ) — ортогональную проекцию состояния | ) на N(рис. 6.23).

Рис. 6.23.Редукция вектора-состояния. Измерение может быть описано в терминах пары подпространств Y и N, каждое из которых является ортогональным дополнением другого. После измерения состояние | ) скачком переходит в свою проекцию на одно из этих подпространств с вероятностью, задаваемой множителем, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора состояния уменьшается при переходе к проекции

Если результат измерения есть ДА, то | ) скачком переходит в | _Y ), а если результат есть НЕТ, то в | _N ). Если вектор состояния | ) нормирован, то соответствующие вероятности того и другого исхода равны квадратам длин

| _Y | ² и | _N | ² состояний-проекций. Если же вектор | ) не нормирован, то каждый из этих квадратов необходимо разделить на | | ² . (По «теореме Пифагора»

| | ² = | _Y | ² + | _N | ² , т. е. сумма вероятностей, как и должно быть, равна единице!) Заметим, что вероятность скачкообразного перехода состояния | ) в состояние | _Y ) определяется отношением, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора | ) уменьшается при таком проецировании.

В заключение необходимо сделать одно замечание относительно таких «актов измерения», которые можно производить над квантовой системой. Из самих основ квантовой теории следует, что для любого состояния, скажем, для | X ), существует измерение типа «да или нет» [152] , результатом которого будет ДА, если измеряемое состояние пропорционально | X ), и НЕТ, если оно ортогонально | X ). Таким образом, введенная выше область Yмогла бы состоять из всех состояний, кратных любому выбранному состоянию | X ). Из этого утверждения, по-видимому, следует весьма сильное заключение о том, что векторы состояния должны быть объективно реальными. Каким бы ни было состояние физической системы (давайте назовем его | X )), существует в принципе выполнимое измерение, для которого | X ) — единственное(с точностью до пропорциональности) состояние, с достоверностьюприводящее к результату ДА. Может оказаться, что для некоторых состояний | X ) выполнить такое измерение будет чрезвычайно трудно, а порою практически «невозможно». Но тот факт, что согласно теории существует принципиальнаявозможность такого измерения, приведет позднее в этой главе к некоторым поразительным следствиям.

152

Для тех, кто знаком с операторным формализмом квантовой механики, это измерение (в обозначениях Дирака) определяется ограниченным эрмитовым оператором | X )( X |. Собственное значение 1 (для нормированного | X )) означает ДА, а собственное значение 0 — НЕТ. (Векторы ( X |, | ) и т. д. принадлежат гильбертову пространству, дуальномук исходному.) См. фон Нейман [1955], Дирак [1947].

Спин и сфера Римана состояний

Величину, которую в квантовой механике принято называть « спином », иногда считают самой «квантовомеханической» из всех физических величин, поэтому мы поступим разумно, уделив ей некоторое внимание. Что такое спин? По существу, спин — это мера, характеризующая вращение частицы. Термин «спин» [153] действительно наводит на мысль о чем-то, напоминающем вращение крикетного шара или бейсбольного мяча. Вспомним понятие углового момента , который, подобно энергии и импульсу, является сохраняющейсявеличиной (см. главу 5 «Динамика Галилея и Ньютона», а также Главу 6 «Начало квантовой теории»). Угловой момент тела остается постоянным во времени до тех пор, пока движение тела не возмущает трение или какие-нибудь другие силы. Он и есть то, чем на самом деле является квантовомеханический спин, но сейчас нас интересует «вращение» отдельнойчастицы самой по себе, а не обращение по орбитам мириад частиц вокруг общего центра масс (как это было бы в случае крикетного шара). Замечательный физический факт состоит в том, что большинство частиц, обнаруживаемых в Природе, действительно совершают «вращение» в только что указанном смысле, причем каждая частица обладает спином, величина которого специфична только для нее [154] . Но, как мы увидим дальше, спин отдельной квантовомеханической частицы обладает некоторыми весьма экстравагантными свойствами, — совсем не теми, которые мы могли бы ожидать, исходя из своего опыта обращения с закрученным крикетными шарами.

153

От английского spin — «вращение». — Прим. ред.

154

В предыдущем описании квантовой системы, состоящей из одной частицы, я прибег к сверхупрощению, проигнорировав спин и предположив, что состояние может быть описано заданием одного лишь пространственного положения. Действительно, существуют некоторые частицы, называемые скалярными, их примерами могут служить ядерные частицы, известные под названием пионов ( – мезоны, см. гл.5 «Масса, материя и реальность»), или некоторые атомы, для которых спин оказывается равным нулю. Для таких (и только для таких) частиц приведенное выше описание в терминах одного лишь пространственного положения действительно будет достаточным.

Прежде всего, для частиц определенного типа величинаспина всегда одна и та же . Изменяться (причем очень странным образом, о чем мы вскоре узнаем) может только направление спина. Это резко контрастирует с крикетным шаром, который может быть закручен всеми возможными способами как угодно сильно или слабо в зависимости от того, как он был запущен! Для электрона, протона или нейтрона величина спина всегда равна h / 2 , т. е. ровно половиненаименьшего положительного значения, которое по Бору было изначально допустимым для квантованной величины углового момента атомов. (Напомним, что допустимыми значениями были 0 , h , 2h , 3h ….) Здесь же нам требуется половина фундаментальной единицы h , и, в некотором смысле, h / 2 сама по себе есть даже более фундаментальная единица. Такая величина углового момента не была бы допустима для объекта, состоящего только из орбитальных частиц, не вращающихся самих по себе. Такая величина может возникнуть только потому, что спин — это внутренне присущеесвойство самой частицы (т. е. он не является результатом орбитального движения ее «частей» вокруг некоторого центра).

Частица со спином, равным нечетномукратному h / 2 (т. е. h / 2 , 3h / 2 или 5h / 2 и т. д.) называется фермионом и обладает любопытной квантовомеханической особенностью: полный поворот на 360° переводит ее вектор состояния не в себя, а в себя со знаком минус!Многие частицы, встречающиеся в природе, относятся к числу фермионов, и мы еще узнаем позднее о них и их необычных свойствах, столь жизненно важных для нашего существования. Остальные частицы со спином, равным четномукратному h / 2 , т. е. целому кратному h (а именно 0 , h , 2h , 3h …), называются бозонами . При повороте на 360° вектор состояния бозона переходит точно в себя .

Рассмотрим частицу с половинным спином , т. е. со значением спина h / 2 . Для определенности я буду называть такую частицу электроном , но ею с таким же успехом мог бы быть протон или нейтрон, а также атом подходящего вида. («Частица» может состоять из отдельных частей, если ее можно рассматривать квантовомеханически как единое целое с вполне определенным полным угловым моментом.) Предположим, что наш электрон покоится, и рассмотрим только его спиновое состояние. Пространство квантовомеханических состояний (гильбертово пространство) оказывается в этом случае двумерным , поэтому мы можем выбрать базис, состоящий всего лишь из двух состояний. Я обозначу их |^)и |V), чтобы указать, что в состоянии |^)спин вращается слева направо относительно вертикального направления снизу вверх, в то время как в состоянии |V)спин вращается слева направо относительно вертикального направления сверху вниз(рис. 6.24).