Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Рис. 6.24.Базис спиновых состояний электрона состоит всего лишь из двух состояний. В качестве них принято выбирать состояния спин вверх и спин вниз

Состояния |^)и |V)взаимно ортогональны, и мы считаем их нормализованными ( |^| ² и |V| ² = 1 ). Любое возможное состояние спина электрона представимо в виде линейной суперпозиции, например, |^) + z|V), именно этих двух ортонормированных состояний |^)и |V), т. е. состояний спин вверх и спин вниз .

Нужно сказать, что в состояниях спин вверхи спин внизнет ничего особенного. С тем же успехом мы могли бы описывать спин, вращающийся слева направо вокруг любого другого направления, например, слева-направо|->)и противоположного ему справа-налево|<-). Тогда (при подходящем выборе комплексных весов) мы получили бы для |^)и |V) [155] :

155

Здесь и выше я предпочел не загромождать формулы множителями типа 1 / 2 , которые нужны, если мы требуем, чтобы векторы |->)и |<-)были нормированными.

|->)= |^) + |V)и |<-)= |^)— |V).

Это позволяет нам по-новому взглянуть на ситуацию. Любое спиновое состояние электрона есть линейная суперпозиция двух ортогональных состояний |->)и |<-),т. е. спинов направои налево. Можно выбрать какое-нибудь совершенно произвольное направление, например, вектор состояния.

Он также является линейной комбинацией спинов |^)и |V)с некоторыми комплексными коэффициентами, скажем,

а любое спиновое состояние было бы представимо в виде линейной комбинации этого состояния

и ортогонального ему [156] состояния

(Заметим, что понятие «ортогональный» в гильбертовом пространстве не обязательно означает «образующий прямой угол с…» в обычном пространстве. Ортогональные вектора состояния в гильбертовом пространстве в данном случае соответствуют диаметрально противоположным направлениям, а не образующим друг с другом прямой угол.)

156

комплексно сопряженные чисел и z . (см. прим.151)

Каково геометрическое соотношение между направлением в пространстве, определяемым спином

и двумя комплексными числами и z ? Так как физическое состояние, задаваемое спином

останется неизменным, если мы умножим

на любое ненулевое комплексное число, то значение имеет только отношениечисла z к числу . Обозначим это отношение через

q = z / .

Тогда q будет обычным комплексным числом за исключением того, что теперь ему разрешено принимать значение q = , чтобы не упускать из рассмотрения ситуацию с = 0 , т. е. когда спин направлен вертикально вниз. Если q /= , то мы можем представить q как точку на плоскости Аргана, как мы делали это в главе 3. Представим себе, что эта плоскость Аргана расположена горизонтально в пространстве, причем действительная ось направлена вправо в вышеуказанном смысле (т. е. в направлении спинового состояния |->)). Представим теперь сферу единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат плоскости Аргана, а точки 1 , i, — 1 , - i лежат на экваторе этой сферы. Рассмотрим точку, совпадающую с южным полюсом этой сферы, который мы обозначим . Осуществляя проекцию из южного полюса, мы отобразим всю плоскость Аргана на нашу единичную сферу. В результате любая точка q на плоскости Аргана окажется поставленной в соответствие единственной точке q на этой сфере, лежащей на прямой, соединяющей эти две точки с южным полюсом (рис. 6.25).

Рис. 6.25.Сфера Римана, представленная как пространство физически различных спиновых состояний частицы со спином 1 / 2 . Сфера Римана стереографически спроецирована из ее южного полюса ( ) на плоскость Аргана, проходящую через экватор сферы

Такое соответствие называется стереографической проекцией и обладает многими красивыми геометрическими свойствами (например, сохраняет углы и отображает окружности в окружности). Такая проекция позволяет нам параметризовать точки сферы комплексными числами вместе с , т. е. множеством возможных комплексных отношений q . Сфера, параметризованная таким образом, называется сферой Римана . Геометрический смысл сферы Римана для спиновых состояний электрона состоит в том, что направление спина, задаваемое соотношением

определяется реальным направлением из центра в точку q = z / , как показано на изображении сферы Римана. Заметим, что северный полюс соответствует состоянию |^), задаваемому соотношением z = 0 , т. е. q = 0 , а южный полюс — состоянию |V), задаваемому соотношением = 0 , т. е. q = . Самая правая точка сферы Римана помечена значением q = 1 , что соответствует состоянию |->)= |^) + |V)а самая левая точка сферы Римана соответствует q = - 1 , что дает спиновое состояние |<-)= |^)— |V). Самая дальняя задняя точка сферы Римана помечена значением q = i , соответствующим состоянию |^) + i|V), в котором спин направлен прямо от нас, а самая близкая точка сферы Римана помечена значением q = — i , соответствующим состоянию |^)— i|V), в котором спин направлен прямо к нам. Произвольная точка, помеченная q , соответствует состоянию |^) + q|V).

Как все это связано с измерением, которое можно было бы произвести над спином электрона? [157] Выберем некоторое направление в пространстве и обозначим его а. Если мы измеряем спин электрона в этом направлении, то ответ ДАозначает, что электрон (теперь) действительно вращается слева направо вокруг направления а, в то время как ответ НЕТозначает, что электрон вращается слева направо вокруг направления, противоположного .

157

Существует стандартная экспериментальная установка, известная как прибор Штерна-Герлаха, которую можно использовать для измерения спинов атомов. Атомы выпускаются в пучок, который проходит в сильно неоднородном магнитном поле, направление неоднородности которого задает направление, в котором производится измерение спина. Пучок расщепляется на два (для атома со спином 1 / 2 или на большее число частей — для атома с большим спином), один пучок дает атомы с ответом ДАна измерение спина, а другой — атомы с ответом НЕТна измерение спина. К сожалению, по некоторым техническим причинам, не имеющим отношения к интересующим нас вопросам, такой прибор не может быть использован для измерения спина электрона, и поэтому приходится прибегать к косвенной процедуре (см. Мотт, Мэсси [1965]). По этой и по другим причинам я предпочитаю не вдаваться в подробности относительно того, как в Действительности измеряют спин электрона.

Предположим, что мы получили ответ ДА, и обозначим результирующее состояние | ). Если мы просто повторим измерение, используя в точности такое же направление , как прежде, то с вероятностью 100 % обнаружим, что ответ будет ДА. Но если при втором измерении мы изменим направление и выберем новое направление , то обнаружим, что вероятность ответа ДА(состояние перепрыгивает в | )) будет несколько меньшей, и существует некоторая возможность появления во втором измерении ответа НЕТ(состояние перепрыгивает в направление, противоположное ). Как нам вычислить эту вероятность? Ответ на этот вопрос содержится в предписаниях, приведенных в конце предыдущего раздела. Вероятность ответа ДАдля второго измерения оказывается равной

1 / 2 ( 1 + cos v )

где v — угол между направлениями [158] и . Соответственно, вероятность ответа НЕТдля второго измерения равна

1 / 2 ( 1 — cos v )

158

Пытливый читатель может самостоятельно проверить геометрию, приведенную в тексте. Проще всего, если мы сориентируем сферу Римана так, чтобы – направление было направлением «вверх», а – направление лежало в плоскости, натянутой на направления «вверх» и «вправо», т. е. задаваемой параметром q = tg ( v/2 ) на сфере Римана, а затем воспользуемся формулой

для вероятности перехода скачком из | ) в ( X |. (См. прим. 151.)