"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"
Шрифт:
г) u 1( x) =x 2(1 –x), u 2( x) =x 3(1 –x) 2, u 3( x) =x 4(1 –x) 3, ...;
3. Запишіть перше наближення y 1( x) розв’язку y( x).
4.
5. Побудуйте графік функцій y( x). Порівняйте його із графіками наближених розв’язків y 1( x) і y 2( x).
Задача. Спрощена модель системи стеження радіолокатора може бути сформульована у вигляді ДР [2]:
x''( t) +a 1 x'( t) +a 2 x( t) =f( t) .(1)
Завдання типового розрахунку полягає в оцінюванні різниці вхідного і вихідного сигналів f( t) –x( t) і порівнянні різних форм вхідного сигналу f( t): f 1( t)= Asin( t+), f 2( t) =b 0 +b 1 t+b 2 t 2, f 3( t) =b 0 +b 1 t+b 2 t 2 +b 3 t 3, якщо x(0)=0, x'(0)=0. Розглянути також випадки апроксимації функції f( t) многочленами, сплайн-функціями, якщо відомі значення функції f(0), f(1), f(2), f(3).
Поглибити рівень засвоєння розділу ДР другого порядку і теми в цілому можна за рахунок застосування знаково-символьних засобів, які розрізняються своїми характеристиками, що дозволяє формувати уміння виділяти відношення форми і змісту об’єкта.
Розглянемо приклад розв’язування завдання типового розрахунку, із використанням різних методів розв’язування диференціального рівняння та різних комп’ютерних математичних систем. Нехай рівняння (1) має вигляд:
x''( t) +3 x'( t) +5 x( t)=4sin3 t, x(0)=0, x'(0)=0 (2)
Розв’язання задачі (2) спершу здійснюється методом невизначених коефіцієнтів у відповідній послідовності з використанням пакету DERIVE. Далі студентам дається завдання для самостійної роботи: Зробити перевірку одержаного результату, скориставшись, наприклад, програмою пакета Maple:
with(DEtools):
dsolve({diff(x(t),t$2)+3*diff(x(t),t)+5*x(t)=4*sin(3*t),x(0)=0,D(x)(0)=0},x(t));
Використовуються
також інші методи. Метод варіації довільних сталих доцільно реалізувати за допомогою пакету DERIVE. Метод інтегрального перетворення Лапласа у такій послідовності (система Maple):– перший етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати функцію оберненого перетворення Лапласа invlaplace .
– другий етап
знайти зображення F( p) ДР за Лапласом;
розкласти одержаний дріб F( p) на елементарні дроби;
застосувати лишки до знаходження оригіналу.
Доцільно ознайомити студентів із методом інтеграла Дюамеля, оскільки вони набули до цього уміння застосовувати перетворення Лапласа і цей етап реалізує закріплення матеріалу.
Оскільки результати спостережень за вхідним сигналом є наближеними, то у типовому розрахунку передбачається використання методу апроксимації, який реалізується у такій послідовності.
а) Метод найменших квадратів.
Відомі спостереження в точках f(0)=4sin(0) =0, f(1)=4sin(3)=0.5644798, f(2)=4sin(6)=–1.1176616, f(3)=4sin(9)=1.6484734, рівняння розв’язується за умови, що вхідним впливом є функція
f( t) =P 3( t) =a 0 +a 1 t+a 2 t 2 +a 3 t 3
– інтерполяційний многочлен третього степеня. Функцію P 3( t) знаходимо за методом найменших квадратів.
б) Кусково-лінійна апроксимація.
Розв’яжемо рівняння (1), у випадку, коли вхідний сигнал задається кусково-лінійною функцією f( t) =x 4( t):
в) Наближення інтерполяційними сплайнами.
Розв’яжемо рівняння (2), у випадку, коли вхідний сигнал задається сплайн-функцією f( t)= x 3( t), тобто кубічним сплайном .
Завдання для самостійної роботи
Використати інші із розглянутих методів розв’язання диференціального рівняння з правою частиною (сплайн-функції).
Поява сучасних комп’ютерів та математичних комп’ютерних систем створили умови для використання у навчальному процесі більшої кількості наближених методів та ознайомлення студентів із сучасними наближеними аналітичними методами розв’язування ДР, зокрема, методом відомого українського математика Дзядика В.К. (1919-1998).
Метод дає можливість на заданому проміжку будувати многочлени, які з високою точністю наближають шуканий розв’язок, особливо у випадку, коли коефіцієнтами лінійного диференціального рівняння (ДР) є многочлени. Розглянемо застосування методу на прикладі деяких класів ДР.
Без використання математичних комп’ютерних систем типу Mathematicа завершити обчислення можна лише в найпростіших випадках. Використаємо пакет Mathematicа 4.0 при розв’язуванні задачі Коші [4]. Якщо розв’язується задача