"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

y''+3 y'+5 y=–x ³ +2 x ², y(0)=1, y'(0)=–1, (3)

наближений розв’язок рівняння шукаємо у вигляді многочлена, наприклад, четвертого степеня. Розв’язок має вигляд

Нижче наведено графіки відхилення та відносної похибки точного і наближеного розв’язків рівняння (3).

Наближений розв’язок рівняння Бесселя у вигляді степеневого ряду знаходиться за допомогою системи Mapleтак. Програма мовою системи має вигляд.

Order:=10:dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-1)*y(x)=0,y(x),series);

Наближення загального розв’язку система записує таким чином

Проте загальний розв’язок система повертає і у звичній формі:

dsolve(x^2*diff(y(x),x$2)+diff(y(x),x)*x+(x^2-k^2)*y(x)=0,y(x));

Як ми уже бачили, моделі деяких процесів описуються нелінійними диференціальними рівняннями. Особливо це стосується дослідження систем автоматичного управління, які описуються нелінійними математичними моделями. Тому для одержання характеристик динамічної системи часто перетворюють рівняння. Одним із методів перетворення рівнянь є метод лінеаризації. Він полягає у послідовному перетворенні нелінійного рівняння, в результаті чого одержується лінійне рівняння, яке відповідає заданому нелінійному. Розглядають повну лінеаризацію, коли рівняння зводиться до такого, в якому міститься менша кількість нелінійностей або спрощені нелінійності – наприклад, коли функція y=e ^х заміняється першими членами ряду Тейлора 1 +x+0.5 x ².

Приклад . Знайти методом лінеаризації наближений розв’язок системи ДР, яка є варіантом моделі розвитку популяції

де x( t), y( t) – кількість жертв та хижаків, >0, <0, <0, >0.

Початкові умови x(0) =x ₀, y(0) =y ₀.

Замінимо нелінійну задачу лінійною в околі стаціонарної точки, де dx/dt=0, dy/dt=0. Це точка з координатами x _s =–/і

y _s =–/. Праві частини рівнянь системи подамо у вигляді формули Тейлора в околі стаціонарної точки M( x _s , y _s ), обмежившись лінійними членами.

f( x, y) =f( M) +df/dx( M)( x–x _s ) +df/dy( M)( y–y _s ) +...

Тоді x+xy=x _s ( y–y _s ), y+xy=y _s ( x–x _s ), а лінеаризована система набуває вигляду

Можна зробити висновок про те, що поведінка розв’язку заданої системи у певному розумінні близька до розв’язку лінеаризованої системи ДР і, що на основі цього можна робити певні висновки та припущення щодо досліджуваного процесу. Наприклад, що фазові траєкторії в околі стаціонарної (особливої) точки є концентричними, що коливання в системі «хижак–жертва» є нестійкими.

Розглянута методика проведення заняття демонструє студентам доцільність використовування комп’ютерів з метою ефективнішого засвоєння матеріалу; сприяє формуванню у студентів навичок використання пакетів, вмінь правильно аналізувати практичні задачі; переконує студента у необхідності оволодіння теоретичними знаннями; студенти набувають досвід використання таких методів наукового пізнання, як аналіз, порівняння, узагальнення та інше; активізує навчально-пізнавальну діяльність студентів.

Баженов В.А., Гранат С.Я., Шишков О.В. Будівельна механіка. Комп’ютерний курс: Підручник. – К.:, 1999. – 584 с.

Клочко В.І. Застосування нових інформаційних технологій навчання при вивченні курсу вищої математики у технічному вузі: Навч. метод. посібн. – Вінниця: ВДТУ, 1997. – 64 с.

Лотюк Ю.Г. Використання НІТН математики на прикладі розв’язування лінійного диференціального рівняння першого степеня з поліноміальними коефіцієнтами методом Дзядика // Вісник ВПІ. – 2001. – №3. – С. 122-129.

ДЕЯКІ ПРОБЛЕМИ РЕАЛІЗАЦІЇ

АЛГОРИТМІЧНОГО ПІДХОДУ У НАВЧАННІ

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ

О.М. Коломієць

м. Черкаси, Черкаський державний університет

ім. Б. Хмельницького

Розв’язування геометричних задач, як показує практика, викликає значно більше утруднень в учнів, в порівнянні з розв’язуванням алгебраїчних задач. Процес розв’язування геометричних задач важче піддається структуруванню, через це до таких задач складніше складати схеми та алгоритми розв’язування. Крім того, не достатньо розкритою залишається сутність поняття алгоритмічного підходу до навчання розв’язування геометричних задач.

Для того, щоб розкрити певною мірою зміст цього поняття, зупинимось на деяких його трактуваннях, що зустрічаються у методичній літературі.

За І.Г. Габовичем, реалізація алгоритмічного підходу – це “ефективний метод навчання учнів розв’язування задач, який заснований на використанні при відшуканні плану розв’язування задачі деяких результатів, отриманих при розв’язуванні так званих базових задач” 2, 3. Під результатами розуміються ті математичні факти, які встановлюються в ході розв’язування базової задачі. Такий підхід, на думку І.Г. Габовича, дозволяє учням швидко знайти план розв’язування інших, більш складних задач. Базовими вважаються задачі на доведення, результат яких є залежності, що часто і ефективно використовуються в розв’язуванні інших геометричних задач. Поряд з терміном “базові задачі” І.Г. Габович використовує ще й термін “алгоритмічні відомості”, вкладаючи в нього аналогічний зміст.

Для прикладу розглянемо дві задачі.

Задача 1. Навколо кола описана рівнобічна трапеція з бічною стороною l, одна з основ якої дорівнює а. Знайти площу трапеції.

Задача 2. Довести, що якщо в чотирикутник вписане коло, то суми довжин протилежних сторін рівні.

Слідуючи за І.Г. Габовичем, другу задачу потрібно вважати базовою для першої задачі.

З.І. Слєпкань 4 у термін “базові задачі” вкладає дещо інший зміст. Вона виходить з тих міркувань, що для навчання учнів розв’язування геометричних задач важливо виділяти не тільки математичні факти, а й прийоми та методи розв’язування. Найчастіше вони подаються у вигляді правил, схем, вказівок. Базовими вважаються такі задачі, алгоритм або схема розв’язання яких застосовні для розв’язування деякого класу задач. Такі задачі часто виступають в ролі окремих етапів розв’язування більш складних задач. Нерідко до них застосовують назву “підзадачі”. Наприклад, у розв’язанні задачі “Дано вершини трикутника А(1;1), В(4;1), С(4;5). Знайдіть косинуси кутів трикутника” задача “Знайти кут між двома заданими векторами” виступає в ролі підзадачі.

Згідно З.І. Слєпкань, сутність алгоритмічного підходу до навчання розв’язування задач найтісніше пов’язана із застосуванням саме таких базових задач, які виступають опорами у процесі навчання. Оволодіння учнями такими задачами є важливим завданням навчання математики, оскільки використання алгоритмічного підходу вносить раціональність та економічність у мислення, допомагає розв’язувати творчі задачі.

На нашу думку, треба відрізнити два смисли, в яких застосовується термін “базова задача”. У термін “базова задача” доцільно вкладати смисл “задача, у результаті розв’язання якої встановлюється математичний факт, що часто використовується у розв’язанні інших задач”. Тоді, за смислом “задача, яка є зразком застосування певного прийому чи способу розв’язування” доцільно закріпити термін “ опорна задача”.