Трактат об электричестве и магнетизме

При

E

=

ea

1

f^2-a^2 

–

1

f

(14)

эквипотенциальная поверхность, пересекающая сферу по линии равновесия, является сферой с центром в месте нахождения точечного заряда и радиусом f^2-a^2.

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности для этого случая показаны на рис. IV в конце этого тома.

Изображения в бесконечной проводящей плоскости

161. Если два точечных заряда A и B, рассматривавшихся в п. 156, равны по величине и противоположны по знаку, то поверхность нулевого потенциала является плоскостью, каждая точка которой находится на равном расстоянии от точек A и B [рис. 8].

Рис. 8

Следовательно, если в точке A находится точечный заряд e, a AD - перпендикуляр к плоскости, то, продолжив AD до точки B так, что DB=AD, и поместив в точку B заряд -e, мы получим изображение точки A, вызывающее во всех дочках, расположенных по ту же сторону от плоскости, что и точка A, точно такое же действие, что и действительная электризация плоскости. В самом деле, потенциал обусловленный точками A и B, удовлетворяет на стороне, где находится точка A, условию ^2V=0 во всех точках, кроме точки A, и равен нулю на плоскости, а существует лишь одна функция V, удовлетворяющая этим условиям.

Чтобы найти результирующую силу в точке P плоскости, заметим, что она складывается из двух слагаемых, равных e/(AP^2) причём одно действует вдоль AP а второе - вдоль PB.

Таким образом, результирующая сила направлена параллельно AB и равна

e

AP^2

·

AB

AP

.

Итак, сила, отсчитываемая наружу от поверхности в сторону точки A, равна

R

=

–

2eAD

AP^3

(15)

а плотность заряда в точке P равна

=

–

eAD

2AP^3

(16)

Об электрической инверсии

162. Метод электрических изображений непосредственно приводит к методу преобразования, позволяющему для любой электрической задачи, решение которой мы знаем, построить сколько угодно других задач и их решений.

Мы видели, что изображение точки, находящейся на расстоянии r от центра сферы радиуса R, находится на том же самом радиусе на расстоянии r', таком, что rr'=R^2. Таким образом, изображение системы точек, линий, поверхностей получается из исходной системы чисто геометрическим методом, известным под названием метода инверсии и описанного Шалем, (Chasles), Сальмоном (Salmon) и другими математиками.

Если A и B - две точки, A' и B' - их изображения [рис. 9], O - центр инверсии, a R - радиус сферы инверсии, то

OA

·

OA'

=

R^2

=

OB

·

OB'

.

Следовательно, треугольники OAB и OA'B' подобны и AB:A'B'=OA:OB'=OA·OB/R^2

Рис. 9

Если количество электричества e поместить в точку A, то его потенциал в точке B будет V=e/AB.

Если в точку A' поместить количество электричества e', то его потенциал в точке B' будет V'=e'/A'B'.

В теории электрических изображений e:e'=OA:R=R:OA', так что

V:V'

=

R:OB

,

(17)

т.е. потенциал в точке B, создаваемый зарядом в точке A, относится к потенциалу в изображении точки B от электрического изображения точки A, как R к OB.

Поскольку это отношение зависит лишь от OB и не зависит от OA, потенциал в точке B от произвольной системы заряженных тел относится к потенциалу в точке B' от изображения этой системы, как R к OB.

Пусть r - расстояние произвольной точки A от центра, r' - расстояние его изображения A' от центра, e - электризация точки A, e' -электризация точки A'; L, S, K - элементы длины, поверхности и объёма у точки A; L', S', K' - их изображения у точки A'; , , , ', ', ', - соответствующие линейные, поверхностные и объёмные плотности электризации в этих двух точках, V - потенциал в точке A, создаваемый исходной системой, а V' - потенциал в точке A', создаваемый инверсной системой. Тогда

r'

p

=

L'

L

=

R²

r²

=

r'²

R²

,

S'

S

=

R⁴

r⁴

=

r'⁴

R⁴

,

K'

K

=

R⁶

r⁶

=

r'⁶

R⁶

,

e'

e

=

R

r

=

r'

R

,

'

=

r

R

=

R

r'

,

'

=

r³

R³

=

R³

r'³

,

'

=

r⁵

R⁵

=

R⁵

r'⁵

,

V'

V

=

r

R

=

R

r'

.

(18)

¹

¹ См. «Natural Philosophy» Томсона и Тэта, § 515.

Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен и равен P то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал PR/r'. Но если поместить в центре инверсии O количество электричества - PR, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.

Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала P, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземлённом проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавливающееся под влиянием точечного заряда -PR, помещённого в центр инверсии.

163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.

Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость.

Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через a и a', их радиусы - через и ' и определить показатель (power) сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен a^2-^2, а для второй - a'^2-'^2. При этом