Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
–
2'ln e
(2y)/a
+C
(5)
(x, y - прямоугольные координаты) будет значением потенциала, обусловленного бесконечным рядом тонких проволочек, параллельных z, расположенных в плоскости xz и проходящих через точки оси x, для которых x кратно a, и плоскостями, перпендикулярными оси y.
Каждая из этих проволочек заряжена с линейной плотностью .
Член с ' указывает на электризацию, вызывающую постоянную силу 4'/a в направлении y.
Форма эквипотенциальных поверхностей и силовых линий при '=0 дана на рис. XIII. Вблизи проволочек эквипотенциальные
Вдали от проволочек эквипотенциальные поверхности становятся всё ближе и ближе к плоскостям, параллельным плоскости решётки.
Если положить в уравнении y=b1 где b1 много больше a, то приближённо
V
1
=
–
4b1
a
(+')
+
C
.
(6)
Если далее положить y=-b2, где b2 положительно и много больше a, то приближённо
V
2
=
4b2
a
'
+
C
.
(7)
Если c - радиус проволочек решётки, причём c много меньше a, то потенциал самой решётки можно найти, приняв, что поверхность проволочки совпадает с эквипотенциальной поверхностью, пересекающей плоскость xz на расстоянии c от оси z. Поэтому для нахождения потенциала решётки положим x=c и y=0, откуда
V
=
– 2 ln 2sin
c
a
+
C
.
(8)
205. Мы получили теперь выражения, описывающие электрическое состояние системы, состоящей из проволочной решётки с диаметром проволок, много меньшим расстояния между ними, и двух проводящих поверхностей по обе стороны от решётки, находящихся на расстояниях, много больших расстояния между проволочками.
Поверхностная плотность 1 на первой плоскости находится из уравнения (6):
4
1
=
dV1
db1
=
–
4
a
(+')
,
(9)
а на второй плоскости - из уравнения (7):
4
2
=
dV2
db2
=
4
a
'
.
(9)
Если положить
=
–
a
2
ln
2 sin
c
a
(11)
и исключить c, и ' из уравнений (6), (7), (8), (9), (10), то получим
4
1
b
1
+
b
2
+
b1b2
=
V
1
1
+
b2
–
V
2
–
V
b2
,
(12)
4
2
b
1
+
b
2
+
b1b2
=
–
V
1
+
V
2
1
+
b1
–
V
b1
.
(13)
Для
бесконечно тонких проволочек становится бесконечным, члены, где входит в знаменатель, исчезают, так что мы приходим к случаю двух параллельных пластин без всякой решётки.Если решётка находится в металлическом контакте с одной из плоскостей, скажем с первой, то V=V1 и правая часть уравнения для 1 становится равной V1– V2. Следовательно, плотность 1, наводимая на первой плоскости при наличии решётки, относится к значению плотности, которая наводилась бы при отсутствии решётки, и при второй плоскости, поддерживаемой при том же потенциале, как 1 к 1+[b1b2/{(b1+b2)}].
Мы пришли бы к той же величине уменьшения электрического влияния первой поверхности на вторую при наличии решётки, если бы считали, что решётка связана со второй поверхностью. Это ясно из того, что b1 и b2 входят в это выражение одинаково. Это непосредственно следует также из теоремы п. 88.
Индукция одной заряженной плоскости на другую через решётку получается такая же, что и при удалённой решётке, но на расстоянии между плоскостями, увеличенном с b1+b2 до b1+b2+(b1b2/).
Если обе плоскости находятся под нулевым потенциалом, а решётка заряжена до заданного потенциала, то количество электричества на ней относится к количеству электричества, которое индуцировалось бы на плоскости равной площади, помещённой в то же положение, как b1b2/[b1b2+(b1+b2)].
Эти результаты справедливы в предположении, что b1 и b2 много больше , а много больше c. Величина имеет размерность длины и может принимать любое значение. Она становится бесконечно большой при неограниченном уменьшении c.
Если положить c=a/2, то между проволочками решётки не будет никакого зазора, так что не будет никакой индукции через решётку. Поэтому должно было бы быть равным 0. Но формула (11) даёт в этом случае =-(a/2) ln 2=-0,11a, что, очевидно, неверно, так как решётка никогда не может привести к изменению знака индукции. Нетрудно, однако, в случае решётки и цилиндрических проволочек перейти к более высокому приближению. Я здесь только намечу основные этапы такого перехода.
Метод приближения