Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть L - длина, B - ширина, D - глубина канавки. Ёмкость участка противостоящей плоскости площади S будет равна

S-LB

4A

+

LB

4(A+')

=

S

4A

–

LB

4A

'

A+'

.

(29)

При A много больше B или поправка, согласно (28), принимает вид

L

4^2

B^2

A^2

ln

2

1+e^{– D/B}

(30)

а для щели бесконечной глубины, полагая D=, получим

L

4^2

B^2

A^2

ln 2

.

(31)

Чтобы найти поверхностную плотность на семействе параллельных пластин, нужно определить

=

1

4

d

dx'

при =0. Расчёт даёт

=

1

e^{– 2x'/b}– 1

.

(32)

Средняя плотность на плоской пластине, находящейся на расстоянии A от краёв семейства пластин, равна =1/(4b) Следовательно, на расстоянии n от края каждой пластины поверхностная плотность равна (2²ⁿ– 1)^{– 1/2} от этой средней плотности.

200. Попытаемся теперь вывести из наших результатов распределение электричества в конфигурации в виде семейства коаксиальных цилиндров перед плоскостью, образуемой вращением двумерной системы из п. 197 вокруг оси y'=R. В этом случае уравнение Пуассона примет вид

d^2V

dx'^2

+

d^2V

dy'^2

+

1

R+y'

dV

dy'

+

4

=

0.

(33)

Примем, что V равно функции из п. 193, и определим значение из этого уравнения. Мы знаем, что первые два члена сократятся, так что

=-

1

4

1

R+y'

d

dy'

.

(34)

Если предположить, что, кроме уже рассмотренной ранее поверхностной плотности, имеет место объёмное распределение электричества по установленному выше закону, то распределение потенциала будет даваться кривыми на рис. XI.

Но из рис. XI видно, что d/dy' очень мало, за исключением областей вблизи границ пластин, так что это новое распределение можно приблизительно представить некоторым поверхностным распределением электричества у краёв пластин.

Если, следовательно, вычислить интеграл dx'dy' от y'=0 до y'=b/2 и от x'=- до x'=+, то можно найти полный дополнительный заряд на одной стороне пластин, обусловленный кривизной.

Поскольку

d

dy'

=

–

d

dx'

,

то

–

dx'

=

–

1

4

1

R+y'

d

dx'

=

1

4

1

R+y'

(

–

_–

)

=

=

1

8

1

R+y'

2

y'

B

– 1

.

(35)

Интегрируя по y', получим

B/2

0

–

dx'dy'

=

1

8

–

1

8

2R+B

B

ln

2R+B

2R

,

(36)

=-

1

32

B

R

+

1

192

B^2

R^2

+

….

(37)

Это выражение даёт половину полного количества электричества, приходящегося на единицу длины, которое мы должны считать распределённым в пространстве вблизи края одного из цилиндров. Поскольку эта объёмная плотность заметна лишь вблизи края пластины, мы можем считать всё электричество сосредоточенным на поверхности пластины, не изменив при этом заметным образом его воздействие на противолежащую плоскую поверхность. При расчёте притяжения этой поверхности к цилиндрической поверхности мы можем считать это электричество расположенным на цилиндрической поверхности.

Если бы никакой кривизны не было, то избыточный заряд на положительной стороне пластины, приходящийся на единицу длины, был бы равен

–

0

–

1

4

d

dy'

dx'

=

1

4

(

₀

–

_–

)

=-

1

8

.

Следовательно, при добавлении сюда полного найденного выше распределения этот заряд следует умножить на множитель 1+(B/2R), чтобы получить полный заряд на положительной стороне.

Для диска радиуса R, помещённого между двумя параллельными плоскостями на расстоянии B, мы получим следующее выражение для ёмкости диска:

B^2

R

+2

ln 2

R

+

1

2

B.

(38)

Теория томсоновского защитного кольца

201. В некоторых электрометрах Сэра У. Томсона большая плоская поверхность (большой диск) поддерживается под некоторым потенциалом, а на расстоянии A от этой поверхности помещён плоский диск радиуса R, окружённый большой плоской пластиной, называемой Защитным кольцом, в которой имеется круглое отверстие радиуса R', концентрическое диску. Этот диск и пластина поддерживаются под нулевым потенциалом.

Промежуток между диском и защитной пластиной можно рассматривать как круглую канавку бесконечной глубины и ширины R'-R, которую мы обозначим через B.

Заряд на диске, обусловленный единичным потенциалом большого диска, будет в предположении однородной плотности равен R^2/4A

Заряд с одной стороны прямолинейной канавки ширины B, длины L=2R и бесконечной глубины может быть оценён по числу силовых линий, исходящих из большого диска и попадающих на эту сторону канавки. Таким образом, согласно п. 198 и примечанию, заряд равен