Трактат об электричестве и магнетизме

B

ln 2

+

ln cos

2B

, т.е.

B

2 cos

2B

,

(18)

а плотность была бы всюду постоянной и равной плотности вдали от границы.

Плотность у края

Поверхностная плотность в любой точке пластины равна

1

4

d

dx'

=

1

4b

e^x'/b

e^2x'/b– 1

=

1

4b

1

+

1

2

e

^{– 2x'/b}

+

3

8

e

^{– 4x'/b}

+…

.

(19)

Величина в скобках быстро приближается к единице с ростом x', так что на расстоянии от границы, превышающем в n раз ширину полосы , истинная плотность превышает нормальную примерно на 1/(2²ⁿ⁺¹) от нормальной плотности.

Аналогично можно найти плотность на бесконечных пластинах

=

1

4b

e^x'/b

e^2x'/b+1

(20)

При x'=0 плотность составляет 2^{– 1/2} от нормальной плотности.

В сторону положительных x' на расстоянии от границы, превышающем в n раз ширину граничной полосы, плотность меньше нормальной примерно на 1/(2²ⁿ⁺¹) от нормальной плотности. На таком же расстоянии в сторону отрицательных x' плотность составляет примерно 2^{– n} от нормальной плотности.

Эти результаты позволяют судить о степени точности, на которую можно рассчитывать при применении этих методов к пластинам ограниченных размеров или при наличии нерегулярностей недалёко от границы. Такое же распределение имело бы место и в случае бесконечной последовательности одинаковых пластин на равных расстояниях друг от друга, потенциалы которых попеременно равны +V и -V. В этом случае расстояние между пластинами следует принять равным B.

197. (2) Второй случай, который мы рассмотрим,- это случай бесконечной совокупности плоскостей параллельных x'z, отстоящих друг от друга на расстояние B=b и ограничиваемых плоскостью y'z, так что они расположены лишь с отрицательной стороны от этой плоскости. Если считать потенциальной функцией, то эти плоскости можно рассматривать как проводники под нулевым потенциалом.

Рассмотрим кривые постоянного .

При y'=nb, т.е. на продолжении каждой плоскости,

x'

=

b ln 1/2

(e

+e

^–

)

.

(21)

При y'=(n+ 1/2 )b, т.е. в промежуточных положениях,

x'

=

b ln 1/2

(e

– e

^–

)

.

(22)

Таким образом, при больших кривая постоянного имеет волнообразный характер.

Среднее её расстояние от оси y' приблизительно равно

a

=

b

(-ln 2)

,

(23)

а амплитуда колебаний по обе стороны от этой прямой равна

1/2 b ln

e+e^–

e– e^–

.

(24)

При больших эта величина стремится к be^{– 2}, так что кривая приближается к прямой линии, параллельной оси y' и находящейся на расстоянии a от этой оси с положительной стороны.

Если принять, что плоскость x'=a поддерживается под постоянным потенциалом, а система параллельных плоскостей - под другим потенциалом, то, поскольку b=a+b ln 2, поверхностная плотность электричества, наведённого на плоскости, такая же, как при помещении плоскости, параллельной данной, при потенциале, равном потенциалу последовательности плоскостей, на расстоянии, превышающем расстояние до краёв плоскостей на b ln 2.

Если B - расстояние между двумя плоскостями бесконечной последовательности, B=b, то дополнительное расстояние равно

=

B

ln 2

(25)

198. Рассмотрим теперь объём, заключённый между двумя эквипотенциальными поверхностями, одна из которых состоит из последовательности параллельных волн, а вторая соответствует большим значениям и может приближённо считаться плоской.

Если D - глубина этих колебаний, измеряемая от вершины до впадины каждой волны, то для соответствующего значения получим

=

1

2

e^D/b+1

e^D/b+1

.

(26)

Значение x' в вершине волны равно

b ln

1

2

(e

+e

^–

)

.

(27)

Таким образом ², если A - расстояние от вершин волн до противолежащей плоскости, то ёмкость системы, состоящей из плоской поверхности, и волнообразной поверхности такая же, как для двух плоскостей, находящихся на расстоянии A+', где

'

=

B

ln

2

1+e^{– D/B}

(28)

² Пусть - потенциал плоскости, а - потенциал волнообразной поверхности. Количество электричества на плоскости, приходящееся на единицу площади, равно 1/4 b. Следовательно, ёмкость =1/4 b(-), 1/4 (A+) (по предположению). Таким образом, A+=b(-) Но A+b ln

e+e^–

2 = b(-ln 2) . Следовательно, = -b + b ( ln 2 + ln

1

2 (e+e^– ) ) = b ln (1+e^{– 2}) = b ln

2

1+e^D/b , согласно (26).

199. Если в проводнике с плоской поверхностью проделана отдельная канавка такой формы, а другой проводник представляет собой плоскую поверхность на расстоянии A то ёмкость одного проводника по отношении к другому при этом уменьшается. Уменьшение ёмкости не превышает (1/n)-й части уменьшения, вызываемого n такими рядом расположенными канавками, потому что в последнем случае средняя электрическая сила между проводниками будет меньше, чем в. первом, так что индукция на поверхности каждой канавки будет уменьшена за счёт соседних канавок.