Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
206. Поскольку проволоки имеют цилиндрическую форму и распределение электричества на каждой проволоке симметрично относительно диаметра параллельного оси y, то подходящее разложение для потенциала имеет вид
V
=
C
0
ln r
C
i
r
i
cos i
,
(14)
где r - расстояние от оси проволочек, а - угол между r и y. Поскольку проволока является проводником, то при r равном радиусу проволоки V должно быть постоянно, и, следовательно, коэффициенты при всех косинусах
Перейдём для краткости к новым координатам , и т. д., так что
a
=
2x
,
a
=
2y
,
a
=
2r
,
a
=
2b
и т.д.,
(15)
и пусть
F
=
ln(
e
+
+
e
– (+)
–
2cos
).
(16)
Тогда, положив
V
=
A
0
F
+
A
1
dF
d
+
A
2
d^2F
d^2
+…,
(17)
мы можем, выбрав соответствующие значения коэффициентов A, представить любой потенциал, являющийся функцией от и cos и не обращающийся в бесконечность нигде, кроме +=0 и cos =1.
При =0 разложение F по и имеет вид
F
0
=
2 ln
+
1
12
^2cos 2
–
1
1440
4
cos 4
+…
.
(18)
Для конечных значений разложение F имеет вид
F
=
+
2 ln(1-e
–
)
+
1+e–
1-e–
cos
–
–
e–
(1-e– )^2
^2 cos 2
+…
.
(19)
В случае решётки с двумя проводящими плоскостями, уравнения которых =1 и =-2, а уравнение плоскости решётки =0, получатся два бесконечных ряда изображений решётки. Первый ряд будет состоять из самой решётки и бесконечной последовательности изображений с обеих сторон с зарядом той же величины и знака. Оси этих воображаемых цилиндров лежат в плоскостях, уравнения которых имеют вид
=
±2n
(
1
+
2
)
.
(20)
Второй ряд будет состоять из бесконечной последовательности изображений, для которых коэффициенты A0, A2, A4 и т.д. равны и противоположны по знаку соответствующим величинам для самой решётки, а коэффициенты A1, A3 и т.д. совпадают по величине и по знаку с соответствующими коэффициентами для решётки. Оси этих изображений расположены в плоскостях, уравнения которых имеют вид
=
2
2
±2m
(
1
+
2
)
,
(21)
где m -
целое.Потенциал, создаваемый любой бесконечной последовательностью таких изображений, будет зависеть от того, чётно или нечётно число изображений. Таким образом, потенциал бесконечной последовательности остаётся неопределённым, но если добавить к нему функцию B+C, то условия задачи достаточны, чтобы найти распределение электричества.
Сначала нужно выразить потенциалы двух проводящих плоскостей V1 и V2 через B, C и коэффициенты A1, A2, …. Затем нужно определить поверхностные плотности 1, 2 в произвольной точке этих плоскостей. Средние значения 1 и 2 даются уравнениями
4
1
=
2
a
(A
0
– B)
,
4
2
=
2
a
(A
0
+B)
.
(22)
Затем потенциалы самой решётки и всех изображений следует разложить по и по косинусам дуг, кратных , и добавить к ним B cos +C.
Члены, не зависящие от , дают при этом потенциал решётки V, а приравнивание к нулю коэффициентов при косинусах даёт уравнения для неопределённых коэффициентов.
Полученных таким образом уравнений достаточно для того, чтобы исключить все эти коэффициенты и свести к двум уравнениям, выражающим 1 и 2 через V1 V2 и V.
Эти уравнения имеют вид
V
1
–
V
=
4
1
(b
1
+-)
+
4
2
(+)
,
V
2
–
V
=
4
1
(+)
+
4
2
(b
2
+-)
.
(23)
Количество электричества, наводимое на одной из плоскостей, защищённой решёткой, другой плоскостью при заданной разности потенциалов, будет таким, как если бы плоскости находились не на расстоянии b1+b2, а на расстоянии
(-)(b1+b2+b1b2– 4)
+
.
Значения и приближённо равны
=
a
2
ln
a
2c
–
5
3
·
4c4
15a4+4c4
+
+
2e
– 4(b1+b2)/a
(1+
e
– 4(b1/a)