Трактат об электричестве и магнетизме

1

2

LB

x

1

4b

, т.е.

1

4

RB

A+'

,

поскольку в этом случае =1, =0 и, следовательно, b=A+'.

Но так как канавка не прямолинейна, а имеет радиус кривизны R, то полученный результат следует умножить на 1+(A/2R).

Следовательно, полный заряд на диске равен

R^2

4A

+

1

4

RB

A+

1

+

B

2R

(39)

=

R^2+R'^2

8A

–

R'^2-R^2

8A

'

A+'

.

(40)

Величина ' не может быть больше, чем (B ln 2)/0,22B.

Если B мало по сравнению с A или R, то это выражение даёт достаточно хорошее приближение для заряда на диске, обусловленного единичной разницей потенциалов. Отношение A к R может быть при этом произвольным, но разность между радиусом большого диска или защитного кольца и радиусом R должна быть в несколько раз больше A.

Пример VII. Рис. XII

202. Гельмгольц в своём мемуаре о разрывном течении жидкости ³ указал на применение некоторых формул, в которых координаты выражены как функции потенциала и сопряжённой ему функции.

³Monatsberichte der Konigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin, April 23, 1868, p. 215

Одна из его формул может быть применена к случаю заряженной пластины конечных размеров, расположенной параллельно заземлённой бесконечной плоской поверхности.

Поскольку x₁=A и y₁=A, а также x₂=Ae cos и y₂=Ae sin являются сопряжёнными функциями от и , то функции, получающиеся сложением x₁ и x₂, y₁ и y₂, тоже будут сопряжёнными. Поэтому, если x=A+Ae cos, y=A+Ae cos, то x и y сопряжены по отношению и , а и сопряжены по отношению к x и y.

Пусть теперь x и y - прямолинейные координаты, а k - потенциал. Тогда k сопряжено k (k - постоянная).

Положим = тогда y=A, x=A(-e). При изменении от - до 0 и затем от 0 до + x меняется от - до -A и от -A до -. Таким образом, эквипотенциальная поверхность, для которой =, представляет собой плоскость, параллельную xz, находящуюся на расстоянии b=A от начала координат и простирающуюся от x=- до x=-A.

Рассмотрим часть этой плоскости, простирающуюся от x=-(A+a) до x=-A и от z=0 до z=c, расположенную на расстоянии y=b=A от плоскости xz и находящуюся под потенциалом V=k=k.

Электрический заряд на рассмотренной части плоскости может быть найден по значениям в крайних её точках.

Таким образом, нам нужно определить из уравнения x=-(A+a)=A(-e). Для получается отрицательное значение ₁ и положительное значение ₂. На краю плоскости при x=-A. =0. Таким образом, заряд на одной стороне плоскости равен -ck₁/4, а на другой, ck₂/4. Оба эти заряда положительны, и их сумма равна ck(₂– ₁)/4.

Если считать, что a много больше A, то

₁

=

–

a

A

– 1

+exp

–

a

A

– 1

+exp

–

a

A

– 1

+exp

–

a

A

– 1…

,

₂

=

ln

a

A

+1+ln

a

A

+1+…

.

Если пренебречь экспоненциальным членом в ₁, то легко видеть, что заряд на отрицательной поверхности превышает заряд, который был бы при однородной поверхностной плотности, равной её значению вдали от границы, на величину заряда полосы шириной A=b/ с той же однородной поверхностной плотностью.

Полная ёмкость рассмотренной части плоскости равна

C

=

c

4^2

(

₂

–

₁

)

.

Полный заряд равен CV а притяжение к бесконечной плоскости y=0 под потенциалом =0 равно

–

1

2

V^2

dC

db

=

V^2

ac

8^3A^2

1+

A

a

1+

A

ln

a

a

A

+

e

^{– a/A}

+…

=

=

V^2c

8b^2

a+

b

–

b^2

^2a

ln

a

b

+…

.

Эквипотенциальные и силовые линии приведены на рис. XII.

Пример VIII. Теория решётки из параллельных проволок. Рис.XIII

203. Во многих электрических приборах применяется проволочная решётка для предохранения некоторых частей прибора от электризации через индукцию. Мы знаем, что если проводник полностью окружён металлическим сосудом, находящимся под тем же потенциалом, что и проводник, то никакое заряженное тело вне сосуда не может навести на поверхности проводника никакого заряда. Однако проводник, полностью окружённый металлом, становится невидимым, и поэтому в некоторых случаях оставляют отверстие, закрываемое решёткой из тонких проволочек. Рассмотрим, как сказывается такая решётка на уменьшении эффекта электрической индукции. Мы примем, что такая решётка состоит из ряда параллельных проволок, расположенных в одной плоскости через равные интервалы. Диаметр проволок будем считать много меньше расстояния между ними, а расстояние от плоскости экрана до ближайших заряженных тел с одной стороны решётки и до защищаемого проводника с другой стороны будем считать существенно больше расстояния между соседними проволочками.

204. Потенциал на расстоянии r' от оси прямой проволоки бесконечной длины с зарядом на единицу длины равен

V

=

– 2 ln r'+C

.

(1)

Мы можем записать это выражение в полярных координатах относительно оси, находящейся на единичном расстоянии от проволочки. При этом мы должны положить

r'^2

=

1-2r cos +r^2

.

(2)

Если принять, что ось отсчёта также заряжена с линейной плотностью ', то

V

=

– ln(1-2r cos +r^2)

– 2' ln r+C

.

(3)

Если положить, что

r

=

e

^(2y)/a

,

=

2x

a

,

(4)

то, согласно теории сопряжённых функций, величина

V

=

– ln(1-2e

^(2y)/a

cos(2x)/a+e

^(4y)/a

)

–