Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
X
1
=
4k
1
Q
1
.
(14)
Отсюда, согласно уравнению (10),
E
0
=
4
(k
1
a
1
+k
2
a
2
+ и т.д.)
Q
,
(15)
и если C - электрическая ёмкость системы, измеренная таким мгновенным
C
=
Q
E0
=
1
4(k1a1+k2a2+ и т.д.)
.
(16)
Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоёв.
Предположим далее, что электродвижущая сила E0 остаётся неизменной в течение неопределённо долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный p.
Мы тогда имеем X1=r1p и т. д., и поэтому, с учётом (10),
E
0
=
(r
1
a
1
+r
2
a
2
+ и т.д.)
p
.
(17)
Если R - полное сопротивление системы, то
R
=
E0
p
=
r
1
a
1
+r
2
a
2
+ и т.д.
(18)
В этом состоянии из (2) имеем
f
1
=
r1
4k1
p
,
так что
12
=
r2
4k2
–
r1
4k1
p
.
(19)
Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение E быстро изменится от начального значения E0 до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества Q.
Для того чтобы определить величину Q, заметим, что если X'1 есть новое значение величины X1 то, с учётом (13),
X'
1
=
X
1
+
4k
1
Q
.
(20)
Отсюда, с учётом (10), полагая E0, получаем
0
=
a
1
X
1
+ и т.д.+
4
(a
1
k
1
+a
2
k
2
+ и т.д.)
Q
,
(21)
или
0
=
E
0
+
1
C
Q
.
(22)
Отсюда Q=-CE0,
где C - ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь u=0, так что, согласно уравнению (8),
X
1
=
X'
1
exp
–
4k1
r1
t
,
(23)
где X'1 есть начальное значение после разряда.
Отсюда для любого момента t получаем, с учётом (23) и (20):
X
1
=
E
0
r1
R
–
4k
1
C
exp
–
4k1
r1
t
.
Поэтому значение E в любой момент равно
E
0
a1r1
R
–
4a
1
k
1
C
exp
–
4k1
r1
t
+
+
a2r2
R
–
4a
2
k
2
C
exp
–
4k2
r2
t
+ и т.д.
,
(24)
и мгновенный заряд по истечении любого времени t равен EC. Эта величина и называется остаточным разрядом.
Если отношение r/k имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина E сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.
Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при t=0 имеем E=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях t. Таким образом, при положительных t величина E также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.
Если время t бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоёв не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина r1 бесконечна, значение R для всей системы также становится бесконечным и значение E в конце равно не нулю, а
E
=
E
0
(1-4a
1
k
1
C)
.
(25)
Таким образом, если некоторые, но не все из слоёв оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе.
330. Мы теперь определим полный разряд через провод с сопротивлением R0, соединённый всё время с крайними слоями системы, предполагая, что эта система сперва была заряжена с помощью приложенной на долгое время электродвижущей силы E0.