Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
k1+k2
E
.
(7)
Таким образом, потенциал в первой среде оказывается таким же, какой был бы создан в воздухе, согласно электростатической теории, зарядом E, помещённым в S, и зарядом E2, помещённым в I, а потенциал во второй среде совпадает с тем, который был бы создан в воздухе зарядом E1 помещённым в точке I.
Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником S и источником (k2– k1)S/(k2+k1), расположенным
Таким образом, в случае двух сред, разделённых плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений. Какова бы ни была природа электродвижущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определён сочетанием их прямого действия с действием их изображения.
Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то k2=0 и изображение, расположенное в точке I, равно по величине и противоположно по знаку источнику в S. Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике.
Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то k2=, и изображение в точке I равно источнику в S и имеет тот же знак. То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жёсткой плоской поверхностью.
316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального проводника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два проводника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 1.
1 См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.
Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды
317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной AB из среды с сопротивлением k2, разделяющей две среды с сопротивлениями k1 и k3, на изменение потенциала источника S, расположенного в первой среде.
Рис. 24
Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определённых точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через S.
Положим
AS
=
SA
,
BI
1
=
SB
,
BJ
1
=
I
1
B
,
BI
2
=
J
1
B
,
BJ
2
=
I
2
A
, и т.д.
тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].
318. Потенциал в первой среде в любой точке P равен
E
PS
+
I
PI
+
I1
PI1
+
I2
PI2
+ и т.д.
(8)
Потенциал
в точке P' во второй среде равенE'
P'S
+
I'
P'I
+
I'1
P'I1
+
I'2
P'I2
+ и т.д. +
J'1
P'J1
+
J'2
P'J2
+ и т.д.
(9)
и потенциал в точке P'' в третьей среде равен
E''
P''S
+
J1
P''J1
+
J2
P''J2
+ и т.д.,
(10)
где I, I' и т. д.- воображаемые заряды, расположенные в точках I и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.
Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через A, мы имеем
I
=
k2– k1
k2+k1
E
,
E'
=
2k2
k1+k2
.
(11)
Для поверхности, проходящей через B, находим
I'
1
=
k3– k2
k3+k2
E'
,
E''
=
2k3
k2+k3
E'
.
(12)
Подобным же образом снова для поверхности, проходящей через A,
J'
1
=
k1– k2
k1+k2
I'
1
,
I
1
=
2k1
k1+k2
I'
1
,
(13)
и для поверхности, проходящей через B,
I'
2
=
k3– k2
k3+k2
J'
1
,
J
1
=
2k3
k3+k2
J'
1
.
(14)
Если мы обозначим
=
k1– k2
k1+k2
и
'
=
k3– k2
k3+k2
,
то найдём для потенциала в первой среде