Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
где K - «удельная индуктивная способность».
«Уравнение непрерывности» для электрического тока будет
d
dx
1
r
dV
dx
+
d
dy
1
r
dV
dy
+
d
dz
1
r
dV
dz
–
d
dt
=
0,
(2)
где r -
Если функции K или r имеют разрывы, эти уравнения нужно преобразовать в такие, которые будут удобны для рассмотрения поверхностей разрыва.
В строго однородной среде обе величины r и K являются постоянными, так что мы находим
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
=
– 4
K
=
r
d
dt
,
(3)
откуда
=
C exp
–
4
Kr
t
,
(4)
или, если положим
T
=
Kr
4
,
=
C exp
–
r
T
.
(5)
Этот результат показывает, что если на однородную среду действуют любые внешние электрические силы и если в объёме среды первоначально был любым способом создан электрический заряд, этот внутренний заряд будет вымирать со скоростью, которая не зависит от внешних сил, так что в конце концов внутри среды не будет электрического заряда, после чего никакие внешние силы не смогут ни создать, ни удержать заряд в любой внутренней части среды, если только соотношение между электродвижущей силой, электрической поляризацией и током остаётся неизменным. Если возникает пробой, эти соотношения теряют свою справедливость, и внутренний заряд может быть создан.
О прохождении тока через конденсатор
326. Пусть C - ёмкость конденсатора, R - его сопротивление, а E - электродвижущая сила, действующая на конденсатор, т. е. разность потенциалов на поверхностях металлических электродов.
Тогда количество электричества на той стороне, от которой действует электродвижущая сила, будет равно CE, а ток через вещество конденсатора в направлении электродвижущей силы будет равен E/R.
Если предполагается, что электризация производится электродвижущей силой E действующей на контур, частью которого является рассматриваемый конденсатор, и если dQ/dt есть ток в этом контуре, то
dQ
dt
=
E
R
+
C
dE
dt
.
(6)
Введём в эту цепь батарею с электродвижущей силой E0, сопротивление которой вместе с сопротивлением подводящих проводов равно r1, тогда
dQ
dt
=
E0– E
r1
=
E
R
+
C
dE
dt
.
(7)
Таким образом, в любое время t1
E
(=E
1
)
=
E
0
R
R+r1
(1-e
– t1/T1
)
, где
T
1
=
CRr1
R+r1
.
(8)
Пусть, далее, цепь с сопротивлением r1 разрывается на время t2. Полагая r1
бесконечной величиной, мы получим из (7)E
(=E
2
)
=
E
1
e
– t1/T1
, где
T
1
=
CR
.
(9)
Наконец, соединим поверхности конденсатора проводом, сопротивление которого равно r3, и пусть длительность этого соединения равна t3, тогда, полагая в (7) E0, r1=r3, мы получим
E
(=E
3
)
=
E
2
e
– t3/T3
, где
T
3
=
CRr3
R+r3
.
(10)
Если Q3 есть полный разряд через этот провод за время t3, то
Q
3
=
E
0
CR^2
(R+r1)(R+r3)
(1-e
– t1/T1
)
e
– t2/T2
(1-e
– t3/T3
)
.
(11)
Таким путём мы можем найти разряд через провод, с помощью которого соединяются поверхности конденсатора после того, как конденсатор в течение времени t1 заряжается, а потом в течение времени t2 изолируется. Если, как это обычно бывает, время зарядки достаточно для того, чтобы образовался полный заряд, и если время разрядки достаточно для полной разрядки, то разряд равен
Q
3
=
E
0
CR^2
(R+r1)(R+r3)
e
– t2/CR
.
(12)
327. Если такого рода конденсатор сначала любым способом заряжается, затем разряжается через провод с малым сопротивлением, а потом изолируется, то не возникает никакой новой электризации. Однако обнаружено, что в большинстве реальных конденсаторов после разрядки и изоляции постепенно нарастает новый заряд того же знака, что и первоначальный, но меньший по величине. Он называется остаточным зарядом. Для того чтобы его объяснить, мы должны признать, что строение диэлектрической среды отличается от того, какое мы только что описывали. Однако мы увидим, что среда, составленная из смеси малых частиц различных простых сред, обладала бы таким свойством.
Теория составного диэлектрика
328. Для простоты мы будем предполагать, что диэлектрик состоит из некоторого числа плоских слоёв различных веществ, что слои имеют единичную площадь и что электрические силы действуют в направлении нормали к слоям.
Обозначим:
a1, a2 и т. д.- толщины различных слоёв;
X1, X2 и т. д.- результирующие электрические силы внутри слоёв;
p1, p2 и т. д,- токи, вызванные прохождением электричества через слои;