Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
(2k1+k2)a2^3-2(k1– k2)a1^3
k
2
.
(11)
314. Если имеется n сфер радиуса a1 и сопротивления k1 помещённые в среду, сопротивление которой равно k2, на таких расстояниях друг от друга, что вызываемое каждой из сфер возмущение протекающего тока можно рассматривать независимо, если все эти сферы заключены внутри сферы радиуса a2,
V
=
Ar
+
nB
1
r^2
cos
,
(12)
где значение B равно
B
=
k1– k2
2k1+k2
a
1
^3
A
.
(13)
Отношение объёма n малых сфер к объёму содержащей их большой сферы равно
p
=
na1^3
a2^3
.
(14)
Поэтому значение потенциала на большом расстоянии от сферы может быть записано в виде
V
=
A
r
+
p
a
2
^3
k1– k2
2k1+k2
1
r^2
cos
.
(15)
Если бы вся сфера радиуса a2 была сделана из вещества с удельным сопротивлением K, мы бы имели
V
=
A
r
+
a
2
^3
K-k2
2K+k2
1
r^2
cos
.
(16)
Одно выражение эквивалентно другому, если
K
=
2k1+k2+p(k1– k2)
2k1+k2– p(k1– k2)
k
2
.
(17)
Это, таким образом, и есть удельное сопротивление составной среды, образованной из вещества с удельным сопротивлением k2, в которое вкраплены малые сферы с удельным сопротивлением k1 причём отношение суммарного объёма всех малых сфер ко всему объёму равно p. Для того чтобы действие этих сфер не вызывало явлений, зависящих от их взаимодействия, их радиусы должны быть малы в сравнении с расстояниями между ними, и поэтому величина p должна быть малой дробью.
Этот результат может быть получен и другими способами, но тот, который приведён здесь, содержит только повторение результата, уже полученного для случая одной сферы.
Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (k1– k2)/(2k1+k2)
существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определённых системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях.Приложение принципа изображений
315. Возьмём в качестве примера случай двух сред, разделённых плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии a от этой плоской поверхности расположен источник электричества S, причём количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно S.
Если бы первая среда была бесконечно протяжённой, ток в любой точке P был бы направлен по SP, а потенциал в P равнялся бы E/r1 где E=(Sa)/4, а r1=SP.
В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку I, изображение источника S, такую, что отрезок SI перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от I равно r2 тогда на поверхности раздела
r
1
=
r
2
,
(1)
dr1
d
=
–
dr2
d
.
(2)
Пусть потенциал V1 в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества E, помещённым в S, и воображаемым количеством E2 в точке I, и пусть потенциал V2 в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества E1, помещённого в точке S. Тогда, если
V
1
=
E
r1
+
E2
r2
и
V
1
=
E1
r1
,
(3)
условие на поверхности V1=V2 даёт
E+E
2
=
E
1
,
(4)
а условие
1
k1
dV1
d
=
1
k2
dV2
d
(5)
даёт
1
k1
(E-E
2
)
=
1
k2
E
1
,
(6)
откуда
E
1
=
2k2
k1+k2
E
,
E
2
=
k2– k1