Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
f1, f2 и т. д.- электрические смещения;
u1, u2 и т. д.- полные токи, которые частично обусловлены прохождением электричества, а частично - изменением смещения;
r1, r2 и т. д.- удельные сопротивления, отнесённые к единице объёма;
K1, K2 и т. д.- удельные индуктивные способности;
k1, k2 и т. д.- величины, обратные удельным индуктивным способностям;
E - электродвижущая сила вольтовой батареи, помещённой в ту часть цепи, которая
Q - полное количество электричества, которое прошло через эту часть цепи к моменту времени;
R0– сопротивление батареи вместе с подводящими проводами;
12– поверхностная плотность электричества на поверхности, которая разделяет первый и второй слои.
Тогда в первом слое мы имеем по закону Ома
X
1
=
r
1
p
1
,
(1)
по теории электрического смещения
X
1
=
4k
1
f
1
,
(2)
по определению полного тока
u
1
=
p
1
+
df1
dt
(3)
и аналогичные уравнения для других слоёв, в каждом из которых соответствующие величины имеют индекс, принадлежащий данному слою.
Для определения поверхностной плотности на каждом слое мы имеем уравнение вида
12
=
f
2
– f
1
,
(4)
а для определения её изменения имеем
d12
dt
=
p
1
– p
2
.
(5)
Дифференцируя (4) по t и приравнивая результат к (5), мы получим
p
1
+
df1
dt
=
p
2
+
df2
dt
=
u
,
(6)
или, учитывая (3),
u
1
=
u
2
= и т.д. =
u
.
(7)
Это означает, что полный ток u имеет одно и то же значение для всех слоёв и равен току, идущему через провод и батарею.
В силу уравнений (1) и (2) имеем также
u
=
1
r1
X
1
+
1
4k1
dX1
dt
,
(8)
откуда, произведя над u обратную операцию, получим X1:
X
1
=
1
r1
+
1
4k1
d
dt
– 1
u
.
(9)
Полная
электродвижущая сила E равнаE
=
a
1
X
1
+
a
2
X
2
+ и т.д.,
(10)
или
E
=
a
1
1
r1
+
1
4k1
d
dt
– 1
+
a
2
1
r1
+
1
4k2
d
dt
– 1
+ и т.д.
u
.
(11)
Уравнение (11) даёт соотношение между внешней электродвижущей силой E и внешним током u.
Если отношение r к k имеет одно и то же значение для всех слоёв, уравнение сводится к
E
+
r
4k
dE
dt
=
(a
1
r
1
+a
2
r
2
+ и т.д.)
u
.
(12)
Это - тот случай, уже рассмотренный в п. 326, в котором, как мы нашли, явление остаточного заряда не может иметь места.
Если имеется n веществ с различными значениями отношения r/k, общее уравнение (11) после избавления от обратных операций будет линейным дифференциальным уравнением n-го порядка по отношению E и (n-1)-го порядка по отношению к u, причём независимой переменной является t.
Из вида уравнения ясно, что порядок, в котором различные слои следуют друг за другом, безразличен, так что, если имеется несколько слоёв, сделанных из одного и того же вещества, мы можем считать, что они объединены в один и явления при этом не меняются.
329. Теперь предположим, что сначала f1, f2 и т. д. все равны нулю и что электродвижущая сила E0 внезапно начинает действовать, и найдём её мгновенный эффект.
Интегрируя (8) по времени, мы находим
Q
=
u
dt
=
1
r1
X
1
dt
+
1
4k1
X
1
+ const,
(13)
Но, поскольку величина X1 в этом случае всегда конечна, X1dt представляет собой неощутимо малую величину, если t есть неощутимо малая величина. Поэтому, так как величина X1 первоначально равнялась нулю, мгновенный результат будет