Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
V
=
E
PS
–
E
PI
+
(1-^2)'
E
PI1
+
'(1-^2)'
E
PI2
+ и т.д +
+
'(1-^2)(')
n-1
E
PIn
+
.
(15)
Для потенциала в третьей среде мы найдём
V
=
(1+')(1-)
E
1
PS
+
'
PJ1
+
(')n
PJn
+…
.
(16)
Если первая среда такая же, как третья, то k1=k3, =', и потенциал по другую сторону пластины будет равен
V
=
(1-^2)
E
1
PS
+
^2
PJ1
+ и т.д. +
2n
PJn
+…
.
(17)
Если пластина является намного более хорошим проводником, чем остальная среда, величина очень близка к 1. Если среда является почти идеальным изолятором, величина очень близка к -1, а если проводимость пластины мало отличается от проводимости среды, есть малая величина, положительная или отрицательная.
Эта задача была впервые поставлена Грином в его работе «Теория магнитной индукции» (Essay, р. 65). Его результат, однако, верен только в случае, когда величина почти равна единице 2. Величина g, которую использует Грин, связана с уравнениями
g
=
2
3-
=
k1– k2
k1+2k2
,
=
3g
2+g
=
k1– k2
k1+k2
.
2 См. сэр У. Томсон «О наведённом магнетизме в пластине», Camb. and Dub. Math. Journal, Nov., 1845 или Reprint, art. IX, § 156.
Если мы положим =2k/(1+2k), то получим решение задачи о магнитной индукции, наведённой магнитным полюсом в бесконечной пластине с коэффициентом намагничения k.
О слоистых проводниках
319. Пусть проводник составлен из чередующихся слоёв с толщинами c и c' из двух веществ с различными коэффициентами проводимости. Требуется определить коэффициенты сопротивления и проводимости у составного проводника.
Будем считать, что плоскости слоёв нормальны к оси z. Будем помечать штрихом каждую величину, относящуюся к слою второго вещества, а величины, относящиеся к составному проводнику, будем помечать чертой сверху, например, X. Тогда
X
=
X
=
X',
(c+c')
u
=
cu+c'u',
Y
=
Y
=
Y',
(c+c')
v
=
cv+c'v',
(c+c')
Z
=
cZ+c'Z',
w
=w
=
w',
Сначала мы должны определить u, u', v, v', Z и Z' через X, Y, и w из уравнений сопротивления, п. 297, или уравнений проводимости, п. 298. Если мы обозначим через D детерминант, составленный из коэффициентов сопротивления, мы найдём
ur
3
D
=
R
2
X
–
Q
3
Y
+
w
q
2
D,
vr
3
D
=
R
1
Y
–
P
3
X
+
w
p
1
D,
Zr
3
=
– p
2
X
–
q
1
Y
+
w
.
Аналогичные
соотношения для штрихованных величин дают значения u', v', и Z'. Выразив u, v и w через X, Y и Z, мы можем написать уравнения проводимости для слоистого проводника. Полагая h=c/r3 и h'=c'/r'3, мы найдёмp
=
hp1+h'p'1
h+h'
,
q
=
hq1+h'q'1
h+h'
,
p
2
=
hp1+h'p'1
h+h'
,
q
2
=
hq2+h'q'2
h+h'
,
p
3
=
cp3+c'p'3
c+c'
–
hh'(q1– q'1)(q2– q'2)
(h+h')(c+c')
,
q
3
=
cq3+c'q'3
c+c'
–
hh'(p1– p'1)(p2– p'2)
(h+h')(c+c')
,
r
1
=
cr1+c'r'1
c+c'
–
hh'(p2– p'2)(q2– q'2)
(h+h')(c+c')
,
r
2
=
cr2+c'r'2
c+c'
–
hh'(p1– p'1)(q1– q'1)
(h+h')(c+c')
,
r
3
=
c+c'
h+h'
.
320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в п. 303, значение любой из величин P или p будет равно значению соответствующей величины Q или q. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также p1=q1, p2=q2, p3=q3.
Другими словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои.