Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Кажущееся распределение электричества
83 б. Если исходить из фактического распределения потенциала и найти по нему объёмную плотность ' и поверхностную плотность ' в предположении, что K всюду равно единице, то величину ' можно назвать кажущейся объёмной плотностью, а ' - кажущейся поверхностной плотностью, потому что полученное таким образом распределение электричества создавало бы фактически имеющееся распределение потенциала в предположении, что приведённый в п. 66 закон для электрической силы не требует никакой поправки для учёта различия в свойствах диэлектриков.
Кажущийся заряд электричества внутри заданного объёма может увеличиваться или уменьшаться без какого-либо прохождения электричества через
В неоднородном диэлектрике, в котором K меняется непрерывно, для кажущейся объёмной плотности ' справедливо соотношение
d^2V
dx^2
+
d^2V
dy^2
+
d^2V
dz^2
+
4'
=
0.
(3)
Сопоставляя его с уравнением (1), получим
4
(-K')
+
dK
dx
dV
dx
+
dK
dy
dV
dy
+
dK
dz
dV
dz
=
0.
(4)
Истинная электризация, обозначаемая через , создаст в диэлектрике с неоднородной индуктивной способностью, обозначаемой через K такой же потенциал в каждой точке, какой создала бы кажущаяся электризация с плотностью ' в диэлектрике с индуктивной способностью, равной всюду единице.
Кажущаяся поверхностная плотность ' определяется по электрическим силам, действующим в окрестности поверхности с помощью обычного характеристического уравнения
dV1
d1
+
dV2
d2
+
4'
=
0.
Если твёрдый диэлектрик произвольной формы является идеальным изолятором и на его поверхность не внесён никакой заряд, то истинный заряд на ней равен нулю, каковы бы ни были действующие на неё электрические силы. Таким образом,
K
1
dV1
d1
+
K
2
dV2
d2
=
0,
откуда
dV1
d1
=
4K2
K1– K2
,
dV2
d2
=
4K1
K2– K1
.
Поверхностная плотность ' - это кажущаяся электризация, создаваемая индукцией на поверхности твёрдого диэлектрика. Она полностью исчезает при устранении индуцирующей силы, но если в период действия индуцирующей силы разрядить кажущуюся электризацию поверхности, проведя по ней пламенем, то после устранения индуцирующей силы появится истинная электризация, равная и противоположная ' 4.
4 См. Фарадей «Remarks on Static Induction», Proceedings of the Royal Institution, Feb. 12, 1858.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II
Уравнения
d
dx
K
dV
dx
+
d
dy
K
dV
dy
+
d
dz
K
dV
dz
+
4
=
0,
K
1
dV
d1
+
K
2
dV
d2
+
4
=
0
выражают
условие, что смещение через любую замкнутую поверхность отличается множителем 4 от количества электричества внутри неё. Первое уравнение получается сразу при применении этого принципа к параллелепипеду, грани которого перпендикулярны координатным осям, а второе - применением к цилиндру, охватывающему элемент заряженной поверхности.Предваряя результаты следующей главы, мы можем вывести эти уравнения непосредственно из фарадеевского определения удельной индуктивной способности. Рассмотрим случай конденсатора, состоящего из двух бесконечных параллельных пластин. Пусть V1 и V2– потенциалы этих пластин, d - расстояние между ними, а E - заряд на площади A одной из пластин. Тогда, если K - удельная индуктивная способность разделяющего их диэлектрика, то
E
=
KA
V1– V2
4d
.
Энергия системы Q согласно п. 84, равна
1
2
E
(V
1
– V
2
)
=
1
2
KA
(V1– V2)2
4d
,
или, если обозначить через F электродвижущую напряжённость в произвольной точке между пластинами, Q=(1/8)KAdF^2. Если мы считаем энергию сосредоточенной в диэлектрике, то на единицу объёма придётся энергия Q=Ad, так что количество энергии в единице объёма равно KF^2/8. Этот результат остаётся справедливым и для неоднородного поля, так что энергия для произвольного электрического поля равна
Q
=
1
8
KF^2
dx
dy
dz
=
=
1
8
K
dV
dx
^2
+
dV
dy
^2
+
dV
dz
^2
dx
dy
dz
.
Предположим, что потенциал каждой точки поля увеличился на малую величину V, где V - произвольная функция от x, y, z, тогда вариация энергии Q будет даваться уравнением
Q
=
1
4
K
dV
dx
dV
dx
+
dV
dy
dV
dy
+
+
dV
dz
dV
dz
dx
dy
dz
,
или, согласно теореме Грина,
Q
=-
1
4
K
1
dV
d1