Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Предположим теперь, что среда между обеими поверхностями уже не воздух, а какое-либо другое диэлектрическое вещество с удельной индуктивной способностью K. Тогда заряд, обусловленный заданной разностью потенциалов, будет в K раз больше, чем в воздухе, т.е. e1=KS(A-B)/4c.
Полная энергия будет равна
W
=
KS
8c
(A-B)^2
=
2
KS
e
1
^2c
,
а сила между поверхностями
F
=
pS
KS
8
(A-B)^2
c^2
=
2
KS
e
1
^2
.
Следовательно,
Две концентрические сферические поверхности
125. Если две концентрические сферические поверхности радиусов a и b, причём b больше a, поддерживаются соответственно под потенциалами A и B, то, очевидно, потенциал V является функцией расстояния r от их центра. В этом случае уравнение Лапласа принимает вид
d^2V
dr^2
+
2
r
dV
dr
=
0.
Его решение V=C1+C2r– 1, и из условия V=A при r=a и V=B при r=b следует, что в пространстве между сферическими поверхностями
V
=
Aa-Bb
a-b
+
A-B
a– 1– b– 1
r
– 1
,
R
=
dV
dr
A-B
a– 1– b– 1
r
– 2
.
Если 1 и 2, - поверхностные плотности на противолежащих поверхностях сплошного шара радиуса a и сферической полости радиуса b, то
1
=
1
4a
A-B
a– 1– b– 1
,
2
=
1
4b
B-A
a– 1– b– 1
.
Если e1 и e2– полные электрические заряды этих поверхностей, то
e
1
=
4a^2
1
=
A-B
a– 1– b– 1
=
– e
2
.
Следовательно, ёмкость сферы, окружённой сферической оболочкой, равна ab/(b-a).
Если внешняя поверхность оболочки тоже сфера радиуса c, то при отсутствии других проводников поблизости заряд на внешней поверхности равен e3=Bc.
Таким образом, полный заряд на внутренней сфере равен
e
1
=
ab
b-a
(A-B)
,
а
на внешней оболочкеe
2
+
e
3
=
ab
b-a
(B-A)
+
Bc
.
Положив b=, мы получим случай сферы в бесконечном пространстве. Электрическая ёмкость такой сферы равна a т.е. численно равна радиусу сферы.
Электрическое натяжение на внутренней сфере, приходящееся на единицу площади, равно
p
=
1
8
b^2
a^2
(A-B)^2
(b-a)^2
.
Результирующая сила, обусловленная этим натяжением, для полусферы равна a^2p=F и перпендикулярна основанию полусферы. Если она уравновешивается поверхностным натяжением, испытываемым по круговой границе полусферы с натяжением на единицу длины равным T то F=2aT.
Отсюда
F
=
b^2
8
(A-B)^2
(b-a)^2
=
e1^2
8a^2
,
T
=
b^2
16a
(A-B)^2
(b-a)^2
.
Если сферический мыльный пузырь наэлектризовать до потенциала A то при радиусе a его заряд будет Aa а поверхностная плотность заряда будет =A/(4a).
Результирующая напряжённость у внешней поверхности равна 4 а внутри пузыря равна нулю, так что, согласно п. 79, электрическая сила, действующая на единицу поверхности, равна 2, причём направлена она наружу. Следовательно, электризация уменьшает давление воздуха внутри пузыря на 2^2, т. е. на A^2/(8a^2).
Но можно показать, что если T0 натяжение в жидкой плёнке, передаваемое через линию единичной длины, то внутреннее давление, необходимое для удержания пузыря от охлопывания, равно 2T0/a. Если электрической силы как раз достаточно для удержания пузыря в равновесии при одинаковом давлении воздуха вне и внутри пузыря, то A^2=16aT0.
Две бесконечные коаксиальные цилиндрические поверхности
126. Пусть радиус внешней поверхности проводящего цилиндра равен a а радиус внутренней поверхности полого цилиндра, коаксиального первому, равен b. Пусть их потенциалы соответственно равны A и B. Потенциал V зависит в этом случае только от расстояния r от оси, так что уравнение Лапласа принимает вид
d^2V
dr^2
+
1
r
dV
dr
=
0.
откуда V=C1+C2 ln r.
Поскольку V=A при r=a и V=B при r=b, то
V
=[
A ln(b/r)
+
B ln(r/b)
]/
ln(b/a)
.
Если 1 и 2– поверхностные плотности на внутренней и внешней поверхностях, то
4
1