Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
=
A-B
,
a ln
b
a
4
2
=
A-B
,
b ln
b
a
Для зарядов e1 и e2 на участках обоих цилиндров между двумя сечениями перпендикулярными оси, и отстоящими друг от друга на расстояние l имеем
e
1
=
2al
1
=
1
·
A-B
l
=
– e
2
.
2
ln
b
a
Следовательно,
Если пространство между цилиндрами занято не воздухом, а диэлектриком с удельной индуктивной способностью K то ёмкость участка внутреннего цилиндра длины l равна lK/(2 ln (b/a)).
Энергия распределения электричества на рассматриваемом участке бесконечного цилиндра равна lK(A-B)^2/(4 ln (b/a)).
127. Пусть два полых цилиндрических проводника A и B произвольной длины (рис. 6), имеющие общую ось x, расположены один с отрицательной стороны от начала координат, а другой с положительной стороны и разделены небольшим промежутком вблизи начала координат.
Пусть цилиндр C длины 2l расположен так, что его центральная точка находится на расстоянии x от начала координат в положительную сторону, а сам цилиндр C входит внутрь полых цилиндров.
Положим потенциал полого цилиндра на положительной стороне равным A на отрицательной стороне равным B и потенциал внутреннего цилиндра равным C, обозначим через ёмкость единицы длины C по отношению к A, а через - ёмкость единицы длины C по отношению к B.
Рис. 6
Поверхностная плотность на участках цилиндров в фиксированных точках вблизи начала координат и в точках, находящихся на заданном небольшом расстоянии от концов внутреннего проводника, не зависит от величины x, если только внутренний цилиндр достаточно глубоко входит внутрь обоих полых цилиндров. Вблизи концов полых цилиндров и вблизи концов внутреннего цилиндра устанавливается распределение электричества, которое мы ещё пока не можем рассчитать, однако распределение у начала координат не меняется при перемещении внутреннего цилиндра, если ни один из его концов не подходит близко к началу координат, а распределения у концов внутреннего цилиндра перемещаются вместе с цилиндром, так что эффект перемещения цилиндра сводится лишь к увеличению или уменьшению тех участков внутреннего цилиндра, на которых заряд распределён как на бесконечном цилиндре.
Следовательно, зависимость полной энергии системы от x даётся выражением
Q
=
1
2
(l+x)
(C-A)^2
+
1
2
(l-x)
(C-B)^2
+
+ величины, не зависящие от
x
,
а результирующая сила, параллельная оси цилиндров, равна, согласно п. 93б,
X
=
dQ
dx
(C-A)^2
–
1
2
(C-B)^2
,
поскольку энергия представлена через потенциалы.
Если сечения цилиндров A и B одинаковы, то = и X=(B-A)[C(A+B)/2].
Таким образом, оказывается, существует постоянная сила, действующая на внутренний цилиндр и втягивающая его в тот внешний цилиндр, потенциал которого больше отличается от потенциала внутреннего проводника.
Если C по величине значительно больше A+B, то сила приблизительно равна X=(B-A)C,
так что можно определить разность потенциалов двух цилиндров, если измерить X, причём точность измерения увеличивается с повышением потенциала внутреннего цилиндра C. Этот принцип в несколько модифицированном виде принят в томсоновском квадрантном электрометре (п. 219).Это же приспособление из трёх цилиндров можно использовать для измерения ёмкости, соединив B и C. Если потенциал A равен нулю, а потенциал B и C равен V, то количество электричества на A равно E3=(q13+(b+x))V, где q13 зависит от распределения электричества на концах цилиндра, но не зависит от x. Переместив цилиндр вправо, так что x перейдёт в x+, мы увеличим ёмкость цилиндра C на определённую величину где =1[2 ln(a/b)], а a и b - радиусы противолежащих цилиндрических поверхностей.
ГЛАВА IX
СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
128. Математическая теория сферических гармоник исследовалась в целом ряде специальных трактатов. В 1878 г. вышло второе издание в двух томах книги Handbuch der Kugelfunctionen д-ра Э. Хайне (Е. Heine), являющейся наиболее детальным исследованием в этой области, а д-р Ф. Нейманн опубликовал свои Beitr"adge zur Theorie der Kugelfunctionen (Leipzig, Teubner, 1878). Значительно улучшено рассмотрение этого вопроса во втором издании 1879 г. Natural Philosophy Томсона и Тэта, а публикация книг Тодхантера, Elementary Treatise on Laplace's Functions, Lam'e's Functions and Bessel’s Functions и Феррерса Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subjects connected with them сделали излишним детальное рассмотрение чисто математических вопросов в книге по электричеству.
И всё же я оставил здесь представление сферической гармоники через её полюса.
Об особых точках, в которых потенциал становится бесконечным
129 а. Если электрический заряд A0 равномерно распределён по поверхности, сферы, центр которой имеет координаты (a, b, c), то потенциал любой точки (x, y, z) вне сферы, согласно п. 125, равен
V
=
A
0
/r
,
(1)
где
r^2
=
(x-a)^2
+
(y-b)^2
+
(z-c)^2
.
Поскольку выражение для V не зависит от радиуса сферы, оно останется тем же и в предположении бесконечно малого радиуса. Физически это означало бы, что заряд помещается на поверхности бесконечно малой сферы, что по существу то же самое, что математическая точка. Мы выше показали (п. 55, 81), что для значения поверхностной плотности электричества существует предел, так что физически невозможно поместить конечный заряд электричества на сферу меньше некоторого радиуса.
Тем не менее, поскольку (1) описывает возможное распределение потенциала в пространстве, окружающем сферу, мы можем математически считать потенциал как бы создаваемым зарядом A0, сосредоточенным в математической точке (a, b, c), а эту точку можно назвать особой точкой нулевого порядка.
Существуют и другие типы особых точек, свойства которых мы рассмотрим ниже, но, прежде чем перейти к этому, следует определить некоторые выражения, которые окажутся нам полезными при рассмотрении направлений в пространстве и соответствующих им точек на сфере.