Трактат об электричестве и магнетизме

Но полная механическая сила, действующая на элемент поверхности, должна являться целиком результатом действия зарядов на конечных расстояниях, поскольку суммарная сила действия элемента на самого себя равна нулю. Поэтому x-составляющая силы, приходящейся на единицу площади, равна

a

=

P

₀

=

(P+P')/2

.

(25)

108. Если (как в уравнении (2)) определить потенциал через считаемое заданным распределение электричества, то из того, что действие и противодействие для пары точечных зарядов равны и противоположны, следует, что x-составляющая силы воздействия системы на саму себя равна нулю, что может быть записано в виде

1

4

d

dx

^2

dx

dy

dz

=

0.

(26)

Но если определять как функцию x, y, z, удовлетворяющую уравнению ^2=0 в любой точке вне замкнутой поверхности s и равную нулю на бесконечном расстоянии, то равенство нулю рассматриваемого объёмного интеграла по любому объёму, включающему s, представляется нуждающимся в доказательстве.

Один из методов доказательства основан на теореме (п. 100в), утверждающей, что если ^2 задано в любой точке и =0 на бесконечном расстоянии, то значение в каждой точке определено и равно

'

=

1

4

1

r

^2

dx

dy

dz

,

(27)

где r - расстояние между элементом dxdydz, где концентрация задана равной ^2, и точкой x, y, z, где ищется .

Этим теорема сводится к полученному нами следствию из первого определения .

Однако если рассматривать как первичную функцию от x, y, z, через которую выражаются остальные, то целесообразнее свести (26) к поверхностному интегралу

A

=

(

lp

_xx

+

mp

_xy

+

np

_xz

)

dS

.

(28)

Если поверхность S находится всюду на большом расстоянии a от поверхности s, охватывающей все точки, в которых ^2 отлично от нуля, то, как мы знаем, не может численно превосходить e/a (4e- объёмный интеграл от ^2), R не может превосходить -(d/da) т.е. e/a^2, а величины p_xx, p_xy, p_xz, не могут каждая превосходить p, т.е. R^2/(8) или e⁴/(8a⁴). Значит, поверхностный интеграл по сфере очень большого радиуса a не может превосходить e^2/(2a^2) и при неограниченно возрастающем радиусе поверхностный интеграл стремится к нулю.

Но этот поверхностный интеграл равен объёмному интегралу (26), причём значение этого интеграла одно и то же, какой бы объём ни охватывала поверхность S, лишь бы она включала в себя все точки, где ^2 отлично от нуля. Раз этот интеграл равен нулю при бесконечном a, он должен быть равен нулю и для любой поверхности, охватывающей все точки, в которых ^2 отлично от нуля.

109. Рассмотренное в этой главе распределение напряжений в точности совпадает с распределением, к которому пришёл Фарадей в своих исследованиях индукции через диэлектрики. Он резюмирует свои результаты следующими словами:

«1297. Прямая индуктивная сила, которую можно вообразить действующей цо линиям между двумя ограничивающими и заряженными проводящими поверхностями, сопровождается боковой или поперечной силой, эквивалентной расширению или отталкиванию этих воображаемых линий (1224); или иначе: сила притяжения, существующая между частицами диэлектрика в направлении индукции, сопровождается силой отталкивания, вызывающей их расхождение в поперечном направлении (1304).

1298. Индукция состоит, по-видимому, в некотором поляризованном состоянии частиц, в которое их приводит наэлектризованное тело, поддерживающее это действие, причём у частиц появляются положительные или отрицательные точки или участки, расположенные симметрично по отношению друг к другу или к индуцирующим поверхностям или частицам. Это состояние должно быть вынужденным, ибо оно создаётся и поддерживается только силой и при удалении этой силы падает до нормального состояния покоя. Одним и тем же количеством электричества оно может длительно поддерживаться только в изоляторах, потому что только они могут сохранять такое состояние частиц».

Это точное изложение тех выводов, к которым мы пришли в наших математических исследованиях. В каждой точке среды существует состояние напряжения, при котором вдоль силовых линий имеет место натяжение, а по всем перпендикулярным им направлениям - давление, причём численно давление равно натяжению и оба они меняются как квадрат результирующей силы в точке.

Выражение «электрическое натяжение» применялось в разных смыслах различными авторами. Я буду всегда применять его для обозначения натяжения вдоль силовой линии, меняющегося, как мы видели, от точки к точке и всегда пропорционального квадрату результирующей силы в точке.

110. Предположение о существовании напряжённого состояния такого типа в газообразном или в жидком диэлектрике, например в воздухе или скипидаре, может на первый взгляд показаться противоречащим установленному закону о том, что в жидкости давление во все стороны одинаково. Однако при выводе этого закона из рассмотрения подвижности и равновесия частей жидкости подразумевается, что в жидкости нет никаких воздействий типа предполагаемого здесь воздействия вдоль силовых линий.

Рассмотренное нами состояние напряжения вполне согласуется с подвижностью и равновесием жидкости, поскольку, как мы видели, для любой части жидкости, лишённой заряда, равнодействующая сил, обусловленных напряжениями на её поверхности, равна нулю, как бы велики эти напряжения ни были. Только если какая-либо часть жидкости заряжена, то её равновесие нарушается напряжениями на поверхности, но мы знаем, что в этом случае жидкость действительно приходит в движение. Итак, предположенное состояние напряжения не противоречит равновесию жидкого диэлектрика.

Исследованная в Главе IV, п. 99а величина W может быть истолкована как энергия в среде, обусловленная распределением напряжений. Из теорем этой главы следует, что распределение напряжений, удовлетворяющее приведённым там условиям, обеспечивает также абсолютный минимум W. Но если для какой-либо конфигурации энергия минимальна, то эта конфигурация равновесна и равновесие устойчиво. Таким образом, диэлектрик, находящийся под индуктивным воздействием заряженных тел, сам по себе придёт в состояние напряжения, распределённого описанным нами способом.

Не следует забывать, что мы сделали лишь первый шаг в теории воздействия среды. Мы приняли, что она находится в состоянии напряжения, но мы никак не объяснили это напряжение, не показали, как оно поддерживается. Однако этот шаг представляется мне весьма важным, так как он объясняет взаимодействием прилегающих частей среды явления, которые раньше считались объяснимыми только с помощью взаимодействия на расстоянии.

111. Мне не удалось сделать следующий шаг, т. е. дать механическое объяснение этих напряжений в диэлектрике. Поэтому я оставляю теорию на этой ступени и укажу лишь на другие стороны явления индукции в диэлектрике.