Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Y
3
=
5
2
1
2
3
–
1
2
(
1
23
+
2
31
+
3
12
),
(32)
и т.д.
Таким образом, каждое слагаемое в Yn состоит из произведений косинусов, причём множители типа -
Поскольку каждая ось вводится одним из n дифференцирований, индекс этой оси может встретиться один и только один раз среди индексов косинусов в каждом слагаемом.
Значит, если в каком-либо слагаемом имеется s косинусов с двойными индексами, то должны входить ещё n-2s косинусов с единичными индексами.
Будем записывать сумму всех произведений косинусов, в которых s косинусов с двойными индексами, в сокращённом виде
(
n-2s
s
)
.
В каждом таком произведении все индексы встречаются по одному разу и ни один не повторяется.
Чтобы показать, что некоторый определённый индекс m встречается только у или только у , мы будем указывать его индексом у или . Таким образом, равенство
(
n-2s
s
)
=
(
n-2s
m
s
)
+
(
n-2s
s
m
)
(33)
показывает, что вся совокупность произведений может быть разделена на две части, в одной из которых индекс m встречается среди направляющих косинусов переменной точки P, а в другой - среди косинусов углов между полюсами. Предположим теперь, что для определённого значения n
Y
n
=
A
n.0
(
n
)
+
A
n.1
(
n-2
1
)
+…+
A
n.s
(
n-2s
s
)
+…,
(34)
где через A обозначены численные коэффициенты. Мы можем записать эту сумму в сокращённой форме:
Y
n
=
S[
A
n.s
(
n-2s
s
)
],
где S показывает суммирование по всем значениям s не больше n/2, включая и нулевое.
Чтобы получить соответствующую пространственную гармонику отрицательной степени (n+1) порядка n умножим на r– (n+1) и получим
V
n
=
S[
A
n.s
r
– (2s-n-1)
(p
n-2s
s
)
],
(36)
где положено r=p, как в уравнении (3).
Если продифференцировать Vn по новой оси hm, то получится -(n+1)Vn+1, и, следовательно,
(n+1)V
n+1
=
S[
A
n.s
(2n+1-2s)
r
(2s-2n-3)
(p
n-2s+1
m
s
)
–
–
A
n.s
r
(2s-2n-1)
(p
n-2s-1
s+1
m
)].
(37)
Чтобы
получить члены, содержащие s косинусов с двойными индексами, нужно уменьшить s на единицу в последнем члене. В результате получим(n+1)V
n+1
=
S[
r
(2s-2n-3)
{
A
n.s
(2n-2s+1)
(p
n-2s+1
m
s
)-
–
A
n.s-1
(p
n-2s+1
s
m
)}].
(38)
Но оба эти типа произведений отличаются друг от друга лишь тем, что в одном из них индекс m встречается лишь у p, а в другом - у . Таким образом, коэффициенты перед ними должны быть одинаковы, а поскольку мы могли прийти к тому же результату, положив n+1 вместо n в выражении для Vn и умножив на n+1, мы получаем уравнения
(n+1)A
n+1.s
=
(2n-2s+1)
A
n.s
=
– A
n.s-1
.
(39)
Если положить здесь s=0, то
(n+1)A
n+1.0
=
(2n+1)A
n.0
(40)
и, следовательно, поскольку A1.0=1,
A
n.0
=
2n!
2n·(n!)^2
.
(41)
Отсюда находится общее выражение для коэффициента
A
n.s
=
(-1)
s
(2n-2s)!
2n-sn!(n-s)!
(42)
и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники
Y
n
=
S
(-1)
s
(2n-2s)!
2n-sn!(n-s)!
(
n-2s
s
)
.
(43)
Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке P сферической поверхности через косинусы расстояний P от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга.
Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз.