Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Если два или любое чётное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.
Профессор Сильвестер показал (Phil. Mag., Oct. 1876), что при заданной гармонике задача определения n прямых, совпадающих с её осями, имеет одно и только одно решение, хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные.
134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла YmYnds в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными.
Для этого нужно построить пространственную гармонику Ymrm
Любой член Ymrm типа rmm-2ss может быть представлен в виде
r
2s
p
m-2s
m
s
nm
.
Дифференцируя его n раз последовательно по n осям Yn, мы увидим, что при дифференцировании r2s по s из этих осей у нас появятся s раз величины pn и численный множитель 2s(2s-2) т. е. 2ss! Продолжение дифференцирования на следующие s осей превращает эти pn в nn, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным n-2s осям множители pm переходят в mn, так что в результате получается
2
s
s!
s
nn
s
mm
n-2s
mn
.
Таким образом, согласно (31),
Y
m
Y
n
ds
=
4
n!(2n+1)
a
n-m+2
dn(Ymrm)
dh1…dhn
,
(44)
а по (43)
Y
m
r
m
=
S
(-1)
s
(2m-2s)!
2m-sm!(m-s)!
(
r
2s
p
m-2s
m
s
mm
)
.
(45)
Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что m=n, получим
Y
m
Y
n
ds
=
4a^2
(2n+1)(n!)^2
x
x
S
(-1)
s
(2n-2s)!s!
2n-2s(n-s)!
(
s
mm
s
nn
n-2s
mn
)
.
(46)
135 а. Выражение (46) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем Ym, совпадают друг с другом, так что Ym становится так называемой «зональной гармоникой порядка m», определяемой нами ниже и обозначаемой символом Pm.
В этом случае все косинусы вида nm можно записать как n где n– косинусы угла между общей осью Pm
и одной из осей Ym. Косинусы типа mm все равны единице, так что вместоs
mm
нужно подставить число сочетаний без повторения индексов по s символов из n, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что
s
mm
=
n!
2ss!(n-2s)!
.
(47)
Число перестановок оставшихся (n-2s) индексов осей Pm равно (n-2s)! Следовательно,
(
n-2s
mn
)
=
(n-2s)!
n-2s
.
(48)
Таким образом, в случае, когда все оси Ym совпадают друг с другом, уравнение (46) принимает вид
Y
n
P
m
ds
=
4a^2
(2n+1)(n!)^2
S
(-1)
s
(2n-2s)!
2n-2s(n-s)!
(
n-2s
n
)
(49)
=
4a^2
2n+1
Y
n(m)
, согласно (43),
(50)
где Yn(m)– значение Yn в полюсе Pm.
К этому результату можно прийти и следующим более коротким путём:
Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось z совпала с осью m и пусть Ynrn представлено как однородная функция x, y, z степени n.
В полюсе Pm x=y=0, a z=r так что если Czn слагаемое, не содержащее x и y, то C есть значение Yn в полюсе Pm.
Уравнение (31) принимает в этом случае вид
Y
n
P
m
ds
=
4a^2
2n+1
1
n!
dm
dzm
(Y
n
r
n
)
.
Поскольку m равно n, то дифференцирование Czn даёт n!C, а остальные члены дают нуль. Следовательно,
Y
n
P
m
ds
=
4a^2
2n+1
C
,
где C - значение Yn в полюсе Pm.
135 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.
Действительно, пусть F - значение этой величины в точке Q сферы, a ds - элемент её поверхности. Умножим Fds на Pn, зональную гармонику с полюсом в точке P на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки P, можно рассматривать как функцию положения точки P.