Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
129 б.Осью называется любое фиксированное направление в пространстве. Мы будем считать, что оно определяется меткой на сфере в той точке, где радиус, проведённый из центра сферы в направлении оси, пересекает поверхность сферы. Эта точка называется Полюсом оси. Таким образом, ось имеет не два полюса, а один.
Если - косинус угла между осью h и любым вектором r, а
p
=
r
,
то p - проекция r по направлению оси h.
Различные оси отличаются разными индексами, а косинус угла между двумя осями обозначается через mn, где m и n - индексы, характеризующие оси.
Дифференцирование по оси h, имеющей направляющие косинусы L, M, N, обозначается
d
dh
=
L
d
dx
+
M
d
dy
+
N
d
dz
.
(4)
Из этих определений следует, что
dr
dhm
=
pm
r
=
m
,
(5)
dpn
dhm
=
mn
=
dpm
dhn
,
(6)
dm
dhn
=
mn– mn
r
.
(7)
Если теперь предположить, что потенциал в точке (x, y, z), обусловленный особой точкой любого порядка, помещённой в начале координат, равен Af(x, y, z), то, если эту точку поместить на конце оси h, потенциал в точке (x, y, z) будет
Af[
(x-Lh),
(y-Mh),
(z-Nh)
].
Если теперь такую же во всех отношениях особую точку, но с противоположным знаком A поместить в начало координат, то потенциал, создаваемый обеими точками, будет равен
V
=
Af[
(x-Lh),
(y-Mh),
(z-Nh)
]-
Af(x,yz)
=
=
– Ah
d
dh
f(x,yz)
+ члены, содержащие
h^2
.
Если теперь h, неограниченно уменьшать, а A неограниченно увеличивать, оставляя их произведение конечным и равным A', тогда предельное значение потенциала пары точек будет равно
V
=
– A'
d
dh
f(x,yz)
.
(8)
Если f(x,yz) удовлетворяет уравнению Лапласа, то, поскольку оно линейное, функция V', являющаяся разностью двух функций, каждая из которых по отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, также должна удовлетворять этому уравнению.
129 в. Потенциал особой точки нулевого порядка
V
0
=
A
0
/r
(9)
удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению.
Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами -A0 и A0 и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси h1. Затем нужно неограниченно уменьшать h1 и увеличивать A0 так, чтобы их произведение A0h1 было всё время равно A1. Окончательным результатом такого процесса, соответствующим слиянию обеих точек, является точка первого порядка с моментом A1 и осью h1. Таким образом, точка первого порядка является двукратной. Её потенциал равен
V
1
=
– h
1
d
dh1
V
0
=
A
1
1
r^2
.
(10)
Поместив
в начало координат точку первого порядка с моментом -A1 а на конце оси h2 другую точку первого порядка с моментом A1 и уменьшая затем h2 с одновременным увеличением A1, так чтоA
1
h
2
=
A
2
/2
,
(11)
мы получим точку второго порядка, потенциал которой
V
2
=
– h
2
d
dh2
V
1
=
A
2
312– 12
x^2
.
(12)
Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырёх точек нулевого порядка. Она имеет две оси h1 и h2 и момент A2. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки.
Последовательно дифференцируя по n осям мы получим потенциал, создаваемый точкой n-го порядка. Он представляет собой произведение трёх множителей-константы, некоторой комбинации косинусов и r– (n+1). По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен r– (n+1). Поэтому мы будем делить на n при дифференцировании по hn.
Таким образом, мы получим вполне определённое численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени -(n+1), а именно
V
n
=
(-1)
n
1
1·2·3…n
d
dh1
d
dh2
…
d
dhn
1
r
.
(13)
При умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остаётся потенциалом, создаваемым некоторой точкой n-го порядка.
129 г. Результат операции (13) имеет вид
V
n
=
Y
n
r
– (n+1)
,
(14)
где Yn– функция n косинусов 1, 2, …, n углов между r и n осями и n(n-1)/2 косинусов 12 и т. д. углов между парами осей.
Если считать направления r и n осей задаваемыми точками на сферической поверхности, то можно рассматривать Yn как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией n(n+1)/2 расстояний между n полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем Yn Поверхностной Гармоникой порядка n.