Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
P
n
=
(-1)
n
rn+1
n!
dn
dzd
1
r
,
(53)
P
n
=
1·3·5…(2n-1)
1·2·3…n
n
–
n(n-1)
2(2n-1)
n-2
+
+
n(n-1)(n-2)(n-3)
2·4·(2n-1)(2n-3)
n-4
– …
=
=
(-1)
p
(2n-2p)!
2np!(n-p)!(n-2p)!
n-2p
,
(54)
где p
Иногда удобно представить Pn как однородную функцию от cos и sin , или, в наших обозначениях, от и :
P
n
=
n
–
n(n-1)
2·2
n-2
2
+
n(n-1)(n-2)(n-3)
2·2·4·4
n-4
4
– …
=
=
(-1)
p
n!
22p(p!)2(n-2p)!
n-2p
2p
.
(55)
В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что Pn является коэффициентом при hn в разложении (1-2h+h2)– 1/2 и что Pn равно также
1
2nn!
dn
dn
(^2-1)
n
.
Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен
(P
n
)^2
ds
=
2a^2
+1
– 1
(P
n
)^2
d
4a^2
2n+1
,
(56)
так что
+1
– 1
(P
n
)^2
d
=
2
2n+1
(57)
139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра.
Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами и , и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (','), то значение зональной гармоники в точке (,) будет функцией четырёх углов ', ', , , но поскольку оно зависит лишь от , т. е. от косинуса дуги, соединяющей точки (,) и (',') оно не меняется при замене на ' и на ' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон и Тэт называют её Биаксиальной Гармоникой.
Любая однородная функция от x, y, z, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной
гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через её n полюсов, так что в ней только 2n переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2n+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную. Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через и , называется Функцией Лапласа.140 а. Чтобы получить другие гармоники симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости xy и образующим друг с другом угол /. Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведённой в Natural Philosophy Томсона и Тэта (т. I, с. 148 первого издания, с. 185 - второго).
Если положить =x+iy, =x-iy, где i означает -1, то операция дифференцирования по осям , одна из которых образует угол с осью x может быть записана для нечётных следующим образом:
e
i
d
d
+
e
i
d
d
x
x
exp i
+
2
·
d
d
+
exp -i
+
2
·
d
d
x
x
exp i
+
4
·
d
d
+
exp -i
+
4
·
d
d
… .
Это эквивалентно
cos
d
d
+
d
d
+
sin ·i
d
d
–
d
d
.
(58)
Для чётных можно доказать, что операция дифференцирования может быть записана в виде
(-1)
(+2)/2
cos ·i
d
d
–
d
d
–
sin
d
d
+
d
d
.
(59)
Таким образом, если положить
i
d
d
–
d
d
=
D
S
,
d
d
+
d
d
=
D
C
,
то операции дифференцирования по осям можно выразить через
D
S
,
D
C
.
В действительности это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так,
2
– 1
D
S
=
d– 1
dx– 1
d
dy
–
(-1)(-2)
1·2·3
d– 3
dx– 3
<