Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Подобно Пуанкаре, Риман дал свою интерпретацию понятий «точка», «прямая» и «плоскость». В качестве плоскости он выбрал поверхность сферы. Его точки, как и у Пуанкаре, были местоположениями — в том же смысле, в каком Декарт имел в виду пары чисел, они же координаты (по сути — широта и долгота той или иной точки). Линиями Римана оказались большие круги — геодезические линии сферы.
Как и для модели Пуанкаре, необходимо было подтвердить, что модель Римана допускает непротиворечивые интерпретации постулатов. Сейчас самое время вспомнить, что уже доказана невозможность существования эллиптического пространства. Разумеется, обнаружилось, что в модели Римана имеются кое-какие нестыковки. Мало создать пространство на основе новой версии постулата параллельности — риманово пространство противоречило существующим версиям и других постулатов. Например, возьмем второй. Евклид писал:
2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Применим ли этот постулат к отрезкам больших кругов
Даже в математике иногда полезно нарушать законы. Риман стал Розой Паркс, отказавшейся пересесть в хвост автобуса [182] : он поставил под вопрос не неправедное, но неоправданное. Он постановил, что второй постулат описывает не существование сколь угодно длинных отрезков, а лишь гарантирует, что у прямых нет конца, а это верно для больших кругов. Математический Верховный суд — сообщество математиков, — услышав это, почесал в затылках. Каковы последствия новой интерпретации закона юным Риманом? Не противоречит ли это другим законам? Можно ли сделать его не противоречащим?
182
Во время автобусной поездки 1 декабря 1955 г. в городе Монтгомери, Алабама, Паркс отказалась по требованию водителя Джеймса Блейка освободить свое место для белых пассажиров. Общественная реакция на поступок Паркс привела к бойкоту автобусных линий города. Действия участников бойкота превратили Розу Паркс в международный символ сопротивления расовой сегрегации и принесли национальную известность лидеру бойкота, Мартину Лютеру Кингу-мл., сделав его важнейшей фигурой в движении за гражданские права. — Прим. пер.
Вторым постулатом нестыковки не исчерпались. Риманово понятие прямой привело к другим затруднениям, которым Риман не имел объяснений. Например, большие круги нарушают допущение, что две прямые могут пересекаться лишь в одной точке. Как и линии долгот, пересекающиеся на обоих полюсах, все большие круги пересекаются в двух точках на противоположных сторонах сферы.
Понятие промежуточности тоже оказалось непросто интерпретировать. Евклид основывал это понятие на первом постулате:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
Чтобы найти точку между двумя другими, Евклид рисовал отрезок, соединяющий эти две точки. Любая точка (отличная от концевых) на этом отрезке находится «между» двумя концевыми. Каверза модели Римана заключается в том, что любые две точки можно соединить по окружности двумя способами. Индонезия — она между экваториальной Африкой и экваториальной Южной Америкой? Чтобы ответить на этот вопрос, можно провести линию вдоль экватора, соединяющую два континента, и проверить, проходит ли она через Индонезию. Но в рамках римановой модели можно попасть из Южной Америки в Африку, отправившись хоть на запад, хоть на восток. Один маршрут проходит через Индонезию, а другой — нет.
Из-за этой неопределенности все евклидовы доказательства применительно к земному шару, связанные с построением отрезков между точками, грешат негодными формулировками. А это приводит к причудливым последствиям. Например, представьте сферическую вселенную Римана с радиусом в 40, а не 4000 миль, как у Земли. В один погожий день глянете вы вперед — и увидите собственный зад. А этот самый зад — он перед вами или позади вас? Или возьмем обруч. Его радиус — 1 метр. Вот крутите вы обруч на талии и спрашиваете: внутри вы обруча или нет? Вроде бы очевидно, что да. Теперь мысленно увеличьте обруч — до размеров гоночной трассы, миля в ширину. Для обруча великоват, но по сравнению с радиусом планеты в 4000 миль — мизер. Стоя в центре, вы все еще можете с уверенностью утверждать, что вы — внутри. А теперь увеличьте обруч до радиуса в 4000 миль. Обруч опоясал планету, как экватор, и тут-то вдруг ваше положение по отношению к обручу становится спорным: вы внутри или снаружи? А если еще больше увеличить радиус обруча, чтобы его окружность раздалась от вас во все стороны, — и тут он вдруг на самом деле схлопывается . В конце концов он окажется тем же, каким мы впервые его представили, — в метр радиусом, но его центр теперь находится в точке на другой стороне мира от вас. И вроде бы вы получаетесь снаружи его. Как можно переместиться изнутри наружу, всего лишь увеличивая размеры обруча? С низложением понятия «между» понятия «сзади» и «спереди», «внутри» и «снаружи» более не просты. Таковы противоречия наивного эллиптического пространства.
Избавиться от этих затруднений можно лишь путем аккуратного переопределения многих понятий. Как обычно, Гаусс предвидел и это. В 1832 году он писал Вольфгангу Бойяи: «В полном своем развитии смысл слов вроде “между” должен основываться на ясных понятиях, которые можно добыть, но я их пока не обрел» [183] . В этом Риман ему тоже не помог. Но, сосредоточившись в основном на малых областях поверхности, Риман глобальными противоречиями вроде тех, что мы только что обсудили, похоже, не интересовался и не боялся их. И, невзирая на эти открытые вопросы, лекция Римана считается одним из шедевров математики. Но все же из-за этих неувязок она не озарила вселенную математики подобно фотонной торпеде [184] .
Гаусс вскоре после этой лекции умер. Риман продолжил разбираться в вопросах местной структуры, нежели широкомасштабной геометрии пространства, и его работа не имела серьезного прижизненного научного влияния.183
Цит. по: Kline, Mathematical Thought , стр. 1006.
184
Вид оружия из американского фантастического сериала «Звездный путь». При запуске очень ярко вспыхивают. — Прим. пер.
В 1857 году в тридцать один год Риман в конце концов стал ассистентом профессора — с унылым жалованьем, приблизительно эквивалентным тремстам долларов в год. На это ученый жил сам и поддерживал трех своих сестер, однако самая младшая, Мари, вскоре умерла. В 1859 году умер Дирихле, заменивший Гаусса на его посту, и Риман сам занял место Гаусса. Три года спустя, в тридцать шесть, он женился. На следующий год у него родилась дочка. Теперь уже с приличным достатком и молодой семьей жизнь Римана вроде бы начала налаживаться. Но, увы, ненадолго. Он подхватил плеврит, переросший в туберкулез, который и добил его — как и его сестер в юные годы — всего в тридцать девять.
Работа Римана в дифференциальной геометрии стала краеугольным камнем общей теории относительности Эйнштейна. Не прояви Риман неосмотрительность, включив в свой список тем геометрию, и не будь Гаусс таким настырным, выбрав эту тему, математический аппарат Эйнштейна, потребный для его революции в физике, не существовал бы. Но еще до начала переворота труды Римана по эллиптическим пространствам произвели не менее мощное действие на мир математики. Необходимость видоизменять не только постулат параллельности, но и прочие, оказалась равносильна перетиранию прядей в веревке — и веревка вскоре лопнула. И лишь тогда математики осознали, что на этой веревке висела не только геометрия, но и вся математика.
Глава 20. Лицевая подтяжка на 2000-м году
Лекция Римана 1854 года дождалась публикации лишь в 1868-м — через два года после его смерти и через год после книги Бальцера, пролившей свет на работы Бойяи и Лобачевского. Последствия наработок Римана мало-помалу показали, что Евклид совершил ошибки нескольких разновидностей: он сделал множество негласных допущений, другие толком не доформулировал, а кроме того, попытался определить больше, чем было возможно.
Ныне мы видим огрехи евклидовой аргументации. Проще всего критиковать Евклида за искусственное разграничение между постулатами и «общими понятиями». Глубже лежит наша современная попытка аксиоматизировать любые допущения и ничто не принимать за истину всего лишь на основании «очевидности» или «здравого смысла». Это на самом деле вполне новомодный подход — победа Гаусса над Кантом, — и критиковать Евклида за то, что он не произвел этот рывок, затруднительно.
Еще одна структурная проблема евклидовой системы — непризнание необходимости в неопределимых понятиях. Представим словарное определение пространства как «безграничной емкости или места, распространяющегося во всех направлениях». Осмысленно ли это определение, или оно лишь подменяет расплывчатым термином «место» искомый термин «пространство»? Если у нас нет уверенности, что мы отчетливо понимаем значение «места», можем поглядеть в словаре и его определение. Словарь утверждает, что «место» есть «часть пространства, занятая тем или иным объектом». Эти два слова — «место» и «пространство» — частенько определяются друг через друга.
Хоть и придется повозиться, но поскольку любое слово в словаре определяется другими, обнаружится, что такая подмена происходит с любым определением. Единственный способ избежать логического круга — допустить существование в конечном языке неких словарно неопределимых понятий. Ныне мы понимаем, что и математические системы обязаны включать подобные неопределимые понятия, и стараться включать минимальное их число, необходимое для того, чтобы система оставалась осмысленной.
С неопределимыми понятиями следует обращаться бережно, поскольку легко впасть в заблуждение, вложив смысл в понятие, сначала не доказав этого, даже если этот смысл кажется очевидным из физической реальности. Сабит совершил эту ошибку, приняв за «очевидное» замечание о том, что линия, равноудаленная от прямой, есть прямая. Как мы уже убедились, ничто в системе Евклида, кроме самого постулата параллельности, нам этого не гарантирует. Применяя неопределимые понятия, мы должны отбросить любые коннотации, навязываемые нам словоупотреблением. Перефразируя великого гёттингенского математика Давида Гильберта [185] [186] , заметим, что непременно должна быть возможность заменить «точки», «прямые» и «окружности» на «мужчин», «женщин» и «пивные кружки». Тогда, математически говоря, эти понятия должны насытиться смыслом из самих утверждений — например, первых трех постулатов Евклида:
185
Хилберт
186
David Hilbert, Grundlanden der Geometrie (Berlin: B. G. Teubner, 1930). Эта цитата приведена и в: Kline, Mathematical Thought , стр. 1010–1015, а также: Greenberg, стр. 58–59. Гринберг тоже предлагает интересное обсуждение неопределенных переменных, стр. 9–12.