Евклидово окно. История геометрии от параллельных прямых до гиперпространства
Шрифт:
Неевклида проверяет выполнение теоремы Пифагора:
Сумма квадратов катетов: 209
Квадрат гипотенузы: 209
Для достаточно маленьких треугольников все получается. У Неевклиды в голове уже созревают зачатки неевклидовой геометрии, и она отправляет своих учеников в еще одну, последнюю экспедицию.
На сей раз Алексею и Николаю предстоит пройти по морю от Нью-Йорка до Мадрида (40 °CШ, 04° ВД), т. е. практически строго на восток. Этот путь им нужно проделать не единократно, всякий раз слегка меняя маршрут и измеряя точную протяженность пути. Их задача, как некогда у Колумба, — выявить кратчайшее расстояние между этими заданными точками, или обнаружить геодезическую прямую. Работа эта — на несколько лет, но статья, которую потом можно опубликовать, обещает настоящий фурор.
Если плыть по прямой от Нью-Йорка до Мадрида,
178
Из интервью со Стивеном Млодиновым 9 октября 1999 г.
Все это легко понять, если представить, как выглядит Земля из космоса. «Строго на восток» в странствиях по глобусу не реализуется, поскольку направления «север» и «восток» — не фиксированные. При перемещении из Нью-Йорка в Мадрид направления, называемые «на восток» или «на север», вращаются в трехмерном пространстве. Кратчайшая траектория между Нью-Йорком и Мадридом — или между любыми другими двумя точками на земном шаре — кривая, называемая большим кругом (это круг на земном шаре, центр которого совпадает с центром Земли; это самые большие окружности, какие можно изобразить на земной поверхности, отсюда и название). Большие круги — аналоги линий Пуанкаре во вселенной Пуанкаре, линии, которые мы по привычке называем прямыми, и они выполняют роль прямых в евклидовых аксиомах. Линии широт — большие круги, равно как и экватор, но лишь он — кривая с постоянной широтой (центры всех остальных кругов с постоянной широтой располагаются выше или ниже по оси Земли).
Нью-Йорк — Мадрид
Вид из космоса местным вроде Неевклиды не ведом. Для нее «центра Земли» не существует, а также не существует «космоса», и Гаусс доказал, что такое возможно. Неевклида, воодушевленная результатами Алексея и Николая, заключила бы, что пространство, в котором она живет, — неевклидово: не гиперболическое, а похожее на поверхность шара, т. е. эллиптическое.
В неевклидовом пространстве все большие круги пересекаются. Суммы углов в треугольнике всегда больше 180° (в гиперболическом пространстве — меньше). В треугольнике, образованном экватором и двумя линиями долгот, соединяющих экватор с Северным полюсом, к примеру, сумма углов составляет 270°. Как и в случае гиперболического, это пространство на малых расстояниях тоже смахивает на евклидово, оттого отклонения так долго и не замечали. Например, превышение суммы углов в треугольнике привычных 180° уменьшается по мере уменьшения самих треугольников.
Геометрия эллиптического пространства, называемая сферической, хорошо известна еще с античных времен. Большие круги еще тогда знали как геодезические. Геометрические формулы, описывающие части сферических треугольников, — уже обнаружены и применялись в картографии. Но эллиптические пространства не вписывались в евклидову парадигму, и открытие эллиптичности пространства земного шара досталось одному из учеников Гаусса — Георгу Фридриху Бернхарду Риману. Он совершил это открытие, когда жизнь Гаусса клонилось к закату, но именно оно, как никакое иное, в конце концов привело к революции искривленного пространства.
Глава 21. Повесть о двух инопланетянах
Георг Риман [179] родился в 1826 году в маленькой деревне Брезеленц, неподалеку от мест, где появился на свет Гаусс. В семье Риманов было шестеро детей. Двум его сестрам, да и ему самому, выпала судьба умереть молодыми. Его мать скончалась, когда он был еще мал. До десяти лет его обучал дома отец, лютеранский пастор. Риман больше всего любил историю, особенно — польского национального движения. Серьезный юный Георг явно не производил впечатления души компании — он ею и не был. Напротив — выказывал патологическую застенчивость и скромность. И гениальность. Приверженцы конспирологических теорий предположили бы, имея в виду Гаусса и Римана, что в начале XIX века под немецким Гамбургом некая высшая инопланетная раса основала колонию и подбросила двум нищим местным семьям гениальных младенцев. И хотя никаких анекдотов о гениальном детстве Римана, в отличие от детства Гаусса, не сохранилось, похоже, Риман уже тогда был чуточку умнее, чем положено всем нам.
179
Отличный
обзор работ и интеллектуального наследия Римана с некоторыми биографическими сведениями, см.: Michael Monastyrsky, Riemann, Topology, and Physics , trans. Roger Cooke, James King, and Victoria King (Boston: Birkhauser, 1999). Обзорное жизнеописание Римана см. также: Bell, стр. 484–509. (Оригинальное издание первой работы: Монастырский М. И. Бернхард Риман. Топология. Физика. М.: Янус-К, 1999. — Прим. пер.)Когда Риману исполнилось девятнадцать, директор его гимназии, человек по имени Шмальфус, дал ему кое-что занимательное — книгу Адриена Мари Лежандра [180] «Theorie des nombres» («Теория чисел»), что математически эквивалентно выдаче юному Риману штанги для установления мирового рекорда по жиму от груди стоя. Штанга эта весила 859 страниц — обширных, плотных, набитых от края до края абстрактной теорией. Грыжа гарантирована: лишь чемпион мог бы справиться с таким весом — при этом обильно потея и кряхтя. Для Римана же эта книга оказалась суперлегким весом, судя по всему, — захватывающим чтением, не требующим никакой сосредоточенности. Он вернул том через шесть дней с комментарием вроде: «Приятно было почитать». Через несколько месяцев Риман сдал экзамен по содержанию книги — с отличным результатом. Позднее Георг внесет свой фундаментальный вклад в теорию чисел.
180
В двух томах, 1830 (Paris: A. Blanchard, 1955). О стремительном прочтении Риманом этой работы см.: Bell, стр. 487.
В 1846 году все еще девятнадцатилетний Риман поступил в Университет Гёттингена, где преподавал Гаусс. Риман начал студентом-теологом — вероятно, рассчитывая молиться за угнетенных поляков. Однако вскоре переключился на предмет своей первой любви — математику. Недолго побыв в Берлине, в 1849 году Риман вернулся в Гёттинген, чтобы завершить работу над диссертацией. В 1851 году он сдал свой труд на суд в том числе и Гаусса, который к тому времени уже стал легендой и был столь же легендарно строг со своими студентами.
Реакция Гаусса на работу Римана оказалась такой, какую он демонстрировал в редких случаях, когда его впечатляли чьи-то математические успехи. Гаусс писал [181] , что Риман выказал «творческий, деятельный, поистине математический ум и… великолепно плодотворное воображение», а также добавил, что он, Гаусс, произвел сходную работу, но не опубликовал. (Посмертное исследование трудов Гаусса показало, что все подобные его заявления ложью не были.) Риман пришел в восторг. В 1853 году ему исполнилось двадцать семь и он двигался к финишу на длинном пути к преподаванию в Гёттингене. В Германии тех времен подобная академическая позиция приносила не скромные деньги, какие платят за нее ныне. Она не приносила никаких денег. Многим из нас такое положение дел видится несколько ущербным. Риман же алкал этого звания — ступеньки к профессорству. А студенты, бывало, не скупились на чаевые.
181
Bell, стр. 495.
Оставалось преодолеть последнее препятствие — прочитать пробную лекцию. Риман представил факультету на выбор три темы. Такова была традиция — выбирать тему лекции нового преподавателя. На всякий случай Риман хорошенько подготовился к первой и второй. Гаусс, баловник эдакий, выбрал третью.
Третьим вариантом Риман предложил тему, которая, очевидно, его интересовала, но он в ней разбирался неважно. Большинство академических ученых, проходя собеседование на работу и специализируясь на политике Люксембурга, не станут предлагать тему пробного выступления «О шриланкийских рептилиях», даже если она стоит третьей в их списке интересов. Когда Гаусс, к тому времени уже тяжело больной и уведомленный врачом о близкой смерти, выбрал третью тему Римана, тот, возможно, спросил себя: «О чем я вообще думал?» Эта самая третья тема звучала так: «Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu grunde liegen» («О гипотезе, лежащей в основе геометрии»). Формулируя эту тему, он знал, как дорога она была Гауссу практически всю его жизнь.
Дальнейшее состояние Римана понятно: несколько недель он переживал что-то вроде нервного срыва — пялился в стену, парализованный свалившимся бременем. Наконец, с приходом весны, он как-то собрался и за семь недель склепал лекцию. Прочитал он ее 10 июня 1854 года. Это был тот редкий случай в истории, когда точная дата и подробности профессионального собеседования сохранились для потомков.
Риман представил свою лекцию в контексте дифференциальной геометрии, сосредоточившись на свойствах бесконечно малых областей поверхности, нежели на ее общих геометрических свойствах. По сути, Риман неевклидову геометрию как таковую ни разу и не помянул. Но последствия его работы были очевидны: Риман объяснил, каким образом сферу можно интерпретировать как двухмерное эллиптическое пространство.