Физика пространства - времени

=

(

t)^2-

x)^2

.

(7)

Собственное время и собственное расстояние

Пространственноподобный интервал обозначается с помощью греческой буквы «сигма» и называется инвариантным пространственноподобным расстоянием или собственным расстоянием между двумя событиями:

=

(

x)^2-

t)^2

.

(8)

Мировая линия частицы

Рис. 18. Временноподобная мировая линия частицы.

На рис. 18 изображено положение частицы в пространстве в функции времени в предположении, что частица в момент t=0 находилась в начале координат и затем двигалась вдоль оси x. Такой график зависимости положения в пространстве от времени на пространственно-временной диаграмме, называется мировой линией частицы. Каждые встречающиеся с частицей часы решётки регистрируют время встречи, так что мировая линия частицы в некотором смысле есть сумма таких отдельных событий-встреч. Никто никогда не наблюдал частиц, движущихся быстрее света. Поэтому любая частица всегда проходит за 1 м светового времени менее 1 м пути. Это значит, что разница во времени между всеми событиями на мировой линии частицы больше, чем расстояние между ними в пространстве, т.е. мировая линия частицы складывается из событий, временноподобных по отношению к исходному событию и по отношению друг к другу. Иначе говоря, мировая линия частицы должна быть временноподобной. Временноподобная мировая линия характеризуется в каждой точке P касательной к ней в этой точке, лежащей где-то между мировыми линиями световых лучей, испущенных в той же точке. Эти световые лучи распространяются за 1 м светового времени на 1 м длины. События, лежащие на мировой линии светового луча, одинаково отстоят друг от друга в пространстве и во времени. Поэтому мировая линия светового луча складывается из событий, светоподобных по отношению к исходному событию и друг к другу. Иначе говоря, мировая линия светового луча должна быть светоподобной.

Путь в пространстве обладает длиной

Центральным в эвклидовой геометрии является понятие расстояния. Например, пользуясь гибкой измерительной рулеткой, легко найти расстояние s вдоль пути, начинающегося на городской площади и идущего по кривой через городские ворота A (рис. 19а). Расстояние s между двумя любыми близкими точками на этом пути (например, теми, что обозначены на рисунке как 3 и 4) можно также вычислить исходя из разностей координат x и y этих точек в каждой из систем координат. Ввиду инвариантности расстояния оно будет для этой пары точек одним и тем же в любой из систем координат, хотя сами разности координат x и y будут различны в разных системах. Также и расстояния между всеми другими парами соседних точек на этом пути не будут зависеть от выбранной для расчётов системы координат. Значит, это заключение справедливо и в отношении суммы всех отрезков данного пути! Итак, разные землемеры, пользующиеся различными системами координат, найдут, что длина данного пути от определённой начальной точки O до определённой конечной точки B для всех них одинакова.

Рис. 19а. Расстояние вдоль искривлённого пути, начинающегося на городской площади. Заметим, что полное расстояние вдоль искривлённого пути от точки O до точки B больше, чем расстояние по прямому пути (ось y) от точки O до точки B.

Рис. 19б. Собственное время вдоль искривлённой мировой линии на диаграмме пространства-времени. Заметим, что полное собственное время вдоль искривлённой мировой линии от события O до события B меньше, чем собственное время по прямой оси t от события O до события B.

Но от O до B можно пройти и по совершенно другому пути, например по прямой OB (рис. 19а). Этот новый путь, очевидно, обладает другой длиной, чем старый. Такое различие в длинах разных путей между O и B — настолько общеизвестный факт в эвклидовой геометрии, что не требует никаких комментариев и уж, конечно, не вызывает удивления. В эвклидовой геометрии путь по кривой между заданными двумя точками длиннее, чем прямолинейный путь между этими же двумя точками. Различие же длин для разных путей не приводит ни к каким противоречиям, и никто не станет заявлять, будто измерительная рулетка даёт неверный результат, если её протянуть в соответствии с кривизной пути.

Прямой путь обладает наименьшей длиной

Собственное время играет ту же роль для мировой линии в лоренцевой геометрии, какую играла длина для пути в эвклидовой геометрии. Пусть началом мировой линии служит событие O а концом — событие B. Существует бесконечное множество разных мировых линий, соединяющих события O и B. Соответствующий каждой из них промежуток собственного времени определён вполне однозначно, но различен для разных мировых линий. Удивительно ли это? Если да, то следует подробнее рассмотреть определение собственного времени и методику его измерения.

Протяжённость мировой линии измеряется собственным временем

Рассмотрим частицу, движущуюся от O к B по искривлённой мировой линии (рис. 19б) ¹). В этом случае частица движется реально вдоль оси x с переменной скоростью. Пусть эта частица посылает световой сигнал через каждый метр времени по часам, движущимся вместе с частицей. Собственное время , прошедшее между каждыми двумя последовательными вспышками (например, обозначенными на рисунке через 3 и 4), можно вычислить, исходя из разностей координат x и t этих событий, измеренных в некоторой инерциальной системе отсчёта. Ввиду инвариантности этого интервала промежуток собственного времени между двумя данными событиями будет одним и тем же, в какой бы инерциальной системе отсчёта мы его ни вычисляли, хотя сами разности пространственных и временных координат x и t будут различны в разных системах отсчёта. Интервалы между всеми другими парами последовательных событий-вспышек на этой мировой линии не будут зависеть от выбранной для вычисления величины интервала системы отсчёта. Значит, это заключение справедливо и в отношении суммы интервалов собственного времени между всеми событиями-вспышками на данной мировой линии! Итак, разные наблюдатели в различных инерциальных системах отсчёта найдут, что промежуток собственного времени между определённым начальным событием O и определённым конечным событием B вдоль данной мировой линии для всех них одинаков.

¹) Конечно, движения вдоль мировой линии реально не происходит, как это и подчеркивается в следующей фразе. Авторы очень удачно охарактеризовали ранее мировые линии на диаграммах Минковского как изображение функциональной зависимости пространственной координаты x материального объекта от времени. Поэтому читатель, встречая употребляемое для краткости выражение «движение по мировой линии», должен сопротивляться искушению понимать его буквально.— Прим. перев.

Прямая мировая линия соответствует наибольшему промежутку собственного времени

Но от события O до события B можно «пройти» и по совершенно другой мировой линии, например по прямой OB (рис. 19б). Этой новой мировой линии, очевидно, соответствует другой промежуток собственного времени, чем старой мировой линии. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия между двумя заданными событиями короче, чем прямая мировая линия между теми же двумя событиями,— короче в смысле соответствующего ей промежутка собственного времени (рис. 20). Расстояние между двумя соседними точками по кривому пути всегда равно или больше разности координат y этих точек. Напротив, промежуток собственного времени между двумя соседними событиями по кривой мировой линии всегда равен или меньше соответствующего времени по прямой мировой линии. Фундаментальным способом сравнения различных мировых линий между двумя событиями является определение собственного времени.

а) В эвклидовой геометрии.

б) В лоренцевой геометрии.

Рис. 20. Противоположность между геометриями Эвклида и Лоренца. В лоренцевой геометрии искривлённая мировая линия соответствует движению за меньшее собственное время.

Разный наклон мировой линии в разных её точках (на рис. 19б и 20,б) означает, что движущиеся по ней часы меняют скорость — ускоряются. При ускорении разные часы будут вести себя по-разному, если только эти часы не будут достаточно малыми. Как правило, часы могут выдерживать большие ускорения, лишь если они достаточно компактны. Чем меньше часы, тем большие ускорения они смогут выдерживать и тем резче могут быть изгибы их мировых линий. На всех диаграммах (например, на рис. 19б и 20,б) мы рассматриваем предельный случай бесконечно малых часов.

Теперь мы можем рассматривать такое движение частиц и часов, при котором они испытывают большие ускорения. Рассмотрим, в частности, простой частный случай, изображённый на рис. 19б.

Промежуток собственного времени между событиями O и B с точки зрения трёх мировых линий

Мировая линия на этом рисунке постепенно меняет свой наклон по мере ускорения п замедления частицы. Будем делать всё короче период ускорения (приложение большой движущей силы!) и период замедления. При этом часть времени, проведённая при равномерном движении с большой скоростью, становится всё продолжительнее. В конце концов мы придём к предельному случаю, когда периоды ускорения и торможения будут слишком короткими для того, чтобы быть различимыми на диаграмме пространства-времени (мировая линия OQB на рис. 21). В этом простом предельном случае вся история движения определяется: 1) исходным событием O, 2) конечным событием B и 3) координатой x точки поворота Q, расположенной на полпути между O и B. На этом примере особенно просто понять, как величина промежутка собственного времени между O и B зависит от величины координаты x точки поворота, и на этом основании сравнить три мировые линии OPB, OQB и ORB.