Физика пространства - времени
Шрифт:
Рис. 21. Сравнение трёх разных мировых линий, связывающих события O и B, Резкие изменения скорости в событиях Q и R изображают предельный случай использования малых («противоударных») часов.
Прямая OPB изображает мировую линию неподвижной частицы: x=0 в течение всего времени. Собственное время, прошедшее от события O до события B по мировой линии, проходящей через P, очевидно, равно времени, измеренному в инерциальной системе отсчёта:
OPB
=
10
3
м
светового
Напротив, на мировой линии, соединяющей O и B через R, каждая часть — светоподобная, так как для каждого её отрезка разности пространственной и временной координат равны друг другу, и поэтому
ORB
=
Удвоенное собственное
время на отрезке OR
=
=
2
(Время)
^2
–
(Расстояние)
^2
1/2
=
=
0.
Конечно, со скоростью света не могут двигаться никакие часы, и мировая линия ORB не может реализоваться в действительности. Тем не менее она представляет собой предельное положение реально осуществимых мировых линий. Иными словами, можно найти такую скорость, которая будет достаточно близкой к скорости света, хотя и меньше её, что путешествие с этой скоростью сначала в одну, а затем в другую сторону вернёт идеальные часы назад в точку x=0 по прошествии столь короткого промежутка собственного времени, какой нам потребуется.
В отличие от предельного случая линии ORB мировая линия OQB соответствует промежутку собственного времени:
OQB
=
Удвоенное собственное
время на отрезке OQ
=
=
2
5
3
^2
–
4
3
^2
1/2
=
=
2
25-16
9
1/2
=
=
2
м
светового времени.
Этот промежуток собственного времени короче, чем OPB=10/3 м по «прямой» мировой линии OPB!
Как мы видим, собственное время реального физического мира (пространства-времени) существенно отличается от понятия расстояния в школьной эвклидовой геометрии. Самое короткое расстояние — по прямому пути, и поэтому определяют: «Прямая линия есть кратчайший путь между двумя точками». Наоборот, промежуток собственного времени короче для того путешественника, который улетел, ускорившись до огромной скорости, а затем повернул и вернулся назад, чем для человека, остававшегося у себя дома. (См. упражнения 27 и 49, посвящённые парадоксу часов). Короче говоря, собственное время — это подходящее мерило для времени, наблюдаемого частицей, движущейся по мировой линии. Точно так же деления на гибкой
рулетке оказываются подходящими для измерения расстояния, пройденного путешественником по криволинейному пути.7. ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Включение координат y и z в интервал
До сих пор, рассматривая интервал между двумя событиями A и B, мы ограничивались тем случаем, когда координаты y и z этих событий одинаковы. Тогда расстояние между событиями в пространстве измерялось величиной
Расстояние
=
x,
а интервал задавался выражением
(
t)^2-
(
x)^2
.
Однако ясно, что ориентация осей x, y и z может быть выбрана произвольно. При другой ориентации этих осей компонента x радиуса-вектора между двумя событиями, вообще говоря, окажется совсем другой, чем прежде. Лишь расстояние в пространстве между двумя событиями никак не зависит от выбора ориентации осей и задаётся выражением
(Расстояние)
^2
=
(
x)^2
+
(
y)^2
+
(
z)^2
.
Другими словами, это и есть та величина, которую следует взять вместо (x)^2 в общей формуле для интервала. Итак, общая формула для интервала между событиями
A с координатами (t, x, y, z)
и
B с координатами (t+t, x+x, y+y, z+z)
имеет вид
Интервал
собственного
времени
^2
=
(Время)
^2
–
(Расстояние)
^2
=
=
(
t)^2
–
(
x)^2
–
(
y)^2
–
(
z)^2
(9)
для временноподобного интервала и
Интервал
собственной
длины
^2
=
(Расстояние)
^2
–
(Время)
^2
=
=
(
x)^2
+
(
y)^2
+
(
z)^2
–
(
t)^2
(10)
для пространственноподобного интервала.
Как понимать эту новую геометрию, основанную на выражении для «интервала собственной длины», в котором три знака «плюс», как и в обычной эвклидовой геометрии, но, кроме того, ещё и один знак «минус»? Следуя Минковскому (1908), можно ввести для измерения времени новую величину w, задав её как
w
=
– 1
·t
или
w
=
– 1
·
t
.
(11)
Тогда выражение для интервала собственной длины примет вид
Интервал
собственной
длины
^2
=
(
x)^2
+
(
y)^2
+
(
z)^2
+
(
w)^2
.
Минковский о единстве пространства-времени