Квантовая механика и интегралы по траекториям

= exp

i

_n

^j=1

k(t)

g(t-t

_j

)

dt

.

(12.16)

Предположим теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определённого изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что n событий равновероятно распределены по всему интервалу T, т.е. что вероятность события в интервале времени dt равна dt/T. В этом случае характеристическая функция оказывается равной

=

_T

⁰

exp

i

_n

^j=1

k(t)

g(t-t

_j

)

dt

dt₁

T

dt₂

T

…

dt_n

T

=

=

_T

⁰

exp

i

k(t+s)

g(t)

dt

ds

T

n

.

(12.17)

Обозначим выражение в скобках через A и запишем результат как Aⁿ.

Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т.е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время T, равно T=n и характеристическая функция

=

ⁿ

A

ⁿ

nⁿ

n!

e

^{– n}

.

(12.18)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение экспоненты от (A-1)n, так что характеристическую функцию можно записать в виде

=

e

^{– (A-1)n}

=

exp

– T

1-

_T

⁰

e

^{ik(t+s)g(t)dt}

ds

T

=

=

exp

–

_T

⁰

(1-e

^{ik(t+s)g(t)dt}

)

ds

.

(12.19)

Таким образом, можно теперь вычислить характеристическую функцию для многих различных случаев. Перейдём к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.

Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае g(t) мало и, разлагая экспоненту exp[ik(t+s)g(t)dt] в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением

exp

i

_T

⁰

_T

⁰

k(t+s)g(t)dt

ds

=

exp

iG

_2T

⁰

k(t)dt

,

(12.20)

где через G=g(t)dt обозначена площадь сигнала. Это означает, что характеристическая функция выражается в виде (12.15) с F(t)=G (постоянной, не зависящей от t), а это эквивалентно достоверному утверждению, что f(t) совпадает с или, другими словами, вероятность равна единице при наблюдении функции f(t)=G и равна нулю при наблюдении других функций f(t). Таким образом, совокупность большого числа малых слабых сигналов порождает почти постоянный потенциал, величина которого равна произведению числа сигналов за 1 сек на среднее значение потенциала сигнала.

Перейдём теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала.

Равенство (12.20) даёт первое приближение экспоненты exp[ik(t+s)g(t)dt] в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде

–

2

k(t)g(t-s)dt

k(t')g(t'-s)dt'

ds

.

(12.21)

Чтобы получить более простое выражение, введём функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов,

=

g(t)

g(t+)

dt

.

(12.22)

Эта подстановка приводит член второго порядка к виду

–

2

_T

⁰

_T

⁰

k(t)

k(t')

(t-t')

dt

dt'

.

(12.23)

Характеристический функционал с учётом членов первого и второго порядков приобретает вид

= exp

iG

k(t)

dt

exp

–

2

k(t)

k(t')

(t-t')

dt

dt'

.

(12.24)

Первый множитель в этом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчёта f(t). Это означает, что путём изменения начала отсчёта функции f(t) всегда можно освободиться от множителя exp[ik(t)F(t)dt] [т.е. записать f(t)=F(t)+f'(t), изучить распределение вероятности и характеристический функционал для f(t)]. Если мы сделаем такое изменение начала отсчёта, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока.

Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае — узкая, пикообразная функция от . Нарастание и спад формы сигнала g(t) характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами, быстро стремится к нулю при увеличении . Поэтому, если имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением

e