Квантовая механика и интегралы по траекториям

§ 5. Последовательные события

Правило для двух событий. В этом параграфе мы выведем важный закон сложения амплитуд вероятностей событий, которые происходят последовательно во времени. Предположим, что t_c — некоторый момент времени в промежутке между t_a и t_b. Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками a и b, может быть записано как

S[b,a]=

S[b,c]+

S[c,a].

(2.28)

Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа L, а также из того, что L не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость. (В противном случае нам пришлось бы в точке c определять значения скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать

K(b,a)=

exp

i

h

S[b,c]+

i

h

S[c,a]

Dx(t).

(2.29)

Фиг. 2.5. Вычисление суммы по траекториям.

Один из способов, которым может быть вычислена сумма по всем траекториям, заключается в суммировании по всем траекториям, проходящим через точку x_c в момент времени t_c, и в последующем суммировании по точкам x_c.

Для каждой траектории, выходящей из точки a в точку b через c, амплитуда вероятности равна произведению двух сомножителей: 1) амплитуды перехода из точки a в точку c и 2) амплитуды перехода из точки c в точку b. Следовательно, это справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку c: полная амплитуда перехода из точки a в точку b через c равна K(b,c)K(c,a). Поэтому полную амплитуду перехода из точки a в точку b, т.е. соотношение (2.31), мы получим путём суммирования по всем альтернативам (по всем значениям x_c).

Точка c разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг. 2.5, концами первого будут x_a и x_c=x(t_c), а концами второго — x_c и x_b. Можно проинтегрировать по всем траекториям между точками a и c, а потом по всем траекториям между точками c и b и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям x_c. При выполнении первого интегрирования S[b,c] является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде

K(b,a)=

x_c

b

c

e

^(i/h)S[b,c]

K(c,a)

Dx(t)

dx

_c

.

(2.30)

Выполнив интегрирование по всем траекториям от c до b, а затем по всем возможным значениям x_c, получим окончательно

K(b,a)=

K(b,c)

K(c,a)

dx

_c

.

x

_c

(2.31)

Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22). Выделим один из дискретных моментов времени t_k. Пусть t_c=t_k и x_c=x_k. Сначала интегрируем по всем x_i для которых i<k. Это приведёт к появлению под знаком интеграла множителя K(c,a). Далее интегрируем по всем x_i, для которых i>k; так получается множитель K(b,c). После этого остаётся проинтегрировать по x_c, и результат запишется в виде (2.31).

Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками a и b однозначно определяется выбором точки x_c, которая отвечает моменту времени t_c. В случае частицы, движущейся из точки a в точку b, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами:

1) ядро, соответствующее переходу из точки a в точку b, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки a в точку c и далее в точку b по всем возможным значениям величины x_c;

2) амплитуда перехода из точки a в точку c и далее в точку b равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки a в точку c и из точки c в точку b.

Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаются.

Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом.

Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: t_c и t_d. Тогда ядро, соответствующее частице, движущейся из точки a в точку b, можно записать в виде

K(b,a)=

K(b,c)

K(c,d)

K(d,a)

dx

_c

dx

_d

.

x

_c

x

_d

(2.32)

Это означает, что частица, которая движется из точки a в точку b, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки a в точку d, потом из точки d в точку c и, наконец, из точки c в точку b. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории. Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки a в точку b, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных x_c и x_d.

Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на N участков. В результате получим

K(b,a)=

x₁

x₂

…

x_N-1

K(b,N-1)

K(N-1,N-2)

…

K(i+1,i)

…

K(1,a)

dx

₁

dx

₂

…

dx

_N-1

.

(2.33)

Это означает, что мы можем определить ядро способом, отличным от приведённого в соотношении (2.22). В этом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделёнными бесконечно малым интервалом времени , имеет вид

K(i+1,i)=

1

A

exp

i

h

L

x_i+1– x_i

,

x_i+1+x_i

2

,

t_i+1+t_i