Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
2
.
(2.34)
Последнее выражение является точным в первом приближении по . Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории:
[x(t)]=
lim
– >0
N-1
i=0
K(i+1,i).
(2.35)
Используя затем правило сложения амплитуд,
§ 6. Некоторые замечания
В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде eiS/h или каким-либо другим простым способом. Тем не менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми небольшими изменениями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежнему задаётся выражением (2.35). Единственное различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро K(i+1,i) выражается уже не так просто, как это имеет место в соотношении (2.34). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать ещё спин и возможность рождения электронно-позитронных пар.
В нерелятивистских системах с большим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми не только установленные выше принципы сложения амплитуд, но и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе. Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равна соответствующему действию, делённому на h. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах.
Глава 3
ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ НА КОНКРЕТНЫХ ПРИМЕРАХ
В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определённым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отношении движения, подчиняющегося законам квантовой механики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введём волновую функцию и выясним её связь с ядром. Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с её более традиционными формулировками.
Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл. 2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, возможно, и разъясняет суть дела, тем не менее оно неудобно для практического пользования. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальнейшем.
Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание квантовомеханических принципов, установить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы.
§ 1. Свободная частица
Интеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использованный в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лагранжиан равен
L=
mx^2
2
,
(3.1)
поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде
K(b,a)=
lim
– >0
…
exp
im
2h
N
i=1
(x
i
– x
i-1
)^2
x
x
dx
1
…
dx
N-1
.
2ih
m
– N/2
.
(3.2)
Выражение
в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т.е. интегралов вида[exp(-ax^2)]dx
или
[exp(-ax^2+bx)]dx.
Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим
K(b,a)=
2ih(tb– ta)
m
– 1/2
exp
im(xb– xa)^2
2h(tb– ta)
.
(3.3)
Вычисления здесь выполнялись следующим образом. Прежде всего следует заметить, что
–
2ih
m
– 1/2
exp
m
2ih
[(x
2
– x
1
)^2+(x
1
– x
0
)^2]
dx
1
=
=
2ih·2
m
– 1/2
exp
m
2ih·2
(x
2
– x
0
)^2
.
(3.4)
Умножим это выражение на функцию
2ih
m
– 1/2
exp
m
2ih
(x
3
– x
2
)^2
(3.5)
и снова проинтегрируем, на этот раз по переменной x2; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (x2– x0)^2 заменяется на (x3– x0)^2, а величина 2 в двух местах заменяется на 3:
2ih·3
m
– 1/2
exp
m
2ih·3
(x
3
– x
0
)^2