Квантовая механика и интегралы по траекториям

(x)=

_b

^{– b}

2ih

m

– 1/2

exp

im(x-y)^2

2h

2ihT

m

– 1/2

x

x

exp

im(x₀+y)^2

2hT

dy.

(3.20)

Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведёт нас к более простым математическим выражениям.

Гауссова щель. Введём в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию G(y). Если положить эту функцию равной единице в интервале -b<=y<=+b и равной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раздвинуть до бесконечности без изменения результата. Тогда

(x)=

_–

mG(y)

2ihT

exp

im

2h

(x-y)^2

+

(x₀– y)^2

T

dy,

(3.21)

где

G(y)=

1 для -b<=y<=b,

0 для |y|>b.

Допустим теперь, что в качестве G(y) взята функция Гаусса

G(y)=e

^{– y^2/2b^2}

.

(3.22)

Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром b. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками -b и +b.

Фиг.3.4. Вид гауссовой функции G(y)=e^{– y^2/2b^2}.

Форма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным отклонением, равным b.

Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, когда в момент времени T частицы распределены вдоль оси x с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции G(y) (относительная вероятность пропорциональна [G(y)]^2). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени T они будут распределены вдоль оси x так же, как и раньше, но с новым центром распределения на расстоянии x₁ от точки x₀ и с большей шириной b₁ определяемыми равенствами

x

₁

=

x₀

T

, b

₁

=b

1+

T

,

(3.23)

как показано на фиг. 3.5.

Фиг. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквозь гауссову щель.

Если частицы подчиняются классическим законам движения, то их распределение в момент времени T+ будет иметь тот же самый вид, что и в момент времени T. Различие состояло бы только в величине уширения, пропорционального времени пролёта частиц. Характеристическая ширина распределения (т.е. ширина на половине высоты пика. — Ред.) будет возрастать от значения 2b до 2b₁, где b₁=b(T+)/T. В действительности ширина в случае квантовомеханического движения будет больше указанной.

В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет

(x)=

^–

m

2ihT

exp

im

2h

x^2

+

x^2₀

T

+

+

im

h

–

x

+

x₀

T

y+

im

2h

+

im

2hT

–

1

2b^2

y^2

dy.

(3.24)

Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид exp(x^2+x), можно вычислить, дополняя показатель экспоненты до полного квадрата:

^–

[exp(x^2+x)]dx=

–

1/2

exp

–

^2

4

для Re<=0.

(3.25)

Таким образом, амплитуда становится равной

(x)=

m

2ih

1/2

T

1

T

+

1

+

hi

b^2m

– 1/2

x

xexp

im

2h

x^2

+

x^2₀

T

–

(im/h)^2(-x/+x₀/T)^2

4(im/2h)(1/+1/T+hi/b^2m)

.

(3.26)

Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть v₀=x₀T. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды:

(x)=

m

2ih

1/2

T++T

hi

mb^2

– 1/2

x

xexp

im

2h

v

₂

⁰

T+

x^2

+

(m^2/2h^2^2)(x-v₀)^2

(m/h)(i/T+i/)-1/b^2

.

(3.27)

Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси x. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем

P(x)dx=

m

2hT

b

x

exp

– (x-v₀)^2

(x)^2

dx.

(3.28)

Здесь применялась подстановка

(x)^2=b^2

1+

T

^2

+

^2h^2

m^2b^2

=b

₂

¹

+

^2h^2

m^2b^2

.

(3.29)

Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке x₁=v₀, определяемой соотношением (3.23), однако ширина распределения x больше той величины b₁ которая следует из этого соотношения. Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть a₁ и a₂ — две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно ₁ и ₂. Тогда если a₃=a₁+a₂, то среднеквадратичное отклонение величины a₃ от её среднего значения равно ₃=(^2₁+^2₂) ^1/2 . Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяжённости, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения exp(-x^2₁/2b^2) величина среднеквадратичного отклонения действительно равна b.