Квантовая механика и интегралы по траекториям

m

2h

x

t

^2

(3.14)

Так как величина m(x/t)^2/2 представляет собой классическую энергию свободной частицы, то это равенство утверждает, что

энергия=h.

(3.15)

Соотношение (3.15), равно как и связь между длиной волны и импульсом, справедливо в случае любого прибора, который можно адекватно описать на языке классической физики, и его, так же как соотношение (3.12), можно получить из более общих соображений.

В соответствии с выражением (3.11) любая вариация времени t_b в конечной точке приведёт к быстрым осцилляциям ядра. Частота этих осцилляций

=

1

h

S_кл

t

.

(3.16)

Величина S_кл/t в классическом рассмотрении интерпретируется как энергия E (см. задачу 2.5), и, следовательно,

=

E

h

.

(3.17)

Таким образом, понятия импульса и энергии переносятся в квантовую механику с помощью следующих правил:

1) если амплитуда вероятности изменяется как e^ikx, то говорят, что частица имеет импульс hk;

2) если эта амплитуда имеет определённую частоту, изменяясь с течением времени как e^{– it}, то говорят, что энергия равна h.

Мы только что показали, что эти правила согласуются с определением энергии и импульса в предельном классическом случае.

Задача 3.2. Покажите с помощью подстановки, что в случае свободной частицы, как только t_b превосходит t_a, ядро K(b,a) удовлетворяет дифференциальному уравнению

–

h

K(b,a)

=-

h^2

^2K(b,a)

t

t

_b

2m

x^2

_b

(3.18)

§ 2. Дифракция при прохождении через щель

Мысленный эксперимент. Физическая интерпретация квантовой механики и её связь с классической станут более понятными, если мы рассмотрим другой, немного более сложный пример. Предположим, что в момент времени t₀ частица выходит из начала координат, а спустя время T мы находим её в некоторой точке x₀. В классической механике мы говорили бы, что частица обладает скоростью v₀=x₀/T. При этом подразумевалось бы, что если частица будет продолжать двигаться дальше, то за время она пройдёт дополнительное расстояние v₀. Чтобы проанализировать это с точки зрения квантовой механики, попытаемся решить следующую задачу.

В момент времени t₀ частица выходит из начала координат x₀. Пусть нам известно, что спустя время T она находится в окрестности x₀±b точки x₀. Спрашивается, какова вероятность обнаружить частицу ещё через время на расстоянии x от точки x₀? Амплитуду перехода в точку x в момент времени t+ можно рассматривать как сумму вкладов от всех траекторий, соединяющих начало координат с конечной точкой, при условии, что в момент времени T соответствующие траектории лежат в интервале x₀±b.

Эта амплитуда вычисляется очень быстро, однако стоит сначала разобрать, какого сорта эксперимент мы здесь рассматриваем. Каким образом можно узнать, что данная частица проходит в пределах ±b от точки x₀? Можно посмотреть, как обычно, находится ли частица в момент времени T в интервале x₀±b. Это был бы наиболее естественный способ, однако вследствие сложного взаимодействия электрона с прибором детальный анализ его является (по сравнению с другими возможностями) несколько затруднительным.

Фиг. 3.3. Движение частицы сквозь щель.

Известно, что частица, выходящая в момент времени t=0 из точки x=0, проходит между точками x₀– b и x₀+b в момент времени t=T.

Мы хотим вычислить вероятность нахождения частицы в некоторой точке x спустя время , т.е. когда t=T+. Согласно классическим законам, частица должна находиться между x₀(/T)+b(1+/T) и x₀(/T)-b(1+/T), т.е. внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханические законы показывают, что частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне этих классических пределов.

Эту задачу нельзя решать, применяя лишь закон движения для свободной частицы, так как щель ограничивает движение частицы. Поэтому разобьём задачу на две — соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой задаче рассматривается движение частицы из точки x=0 при t=0 в точку x=x₀+y при t=T, где |y|<=b; во второй — движение из точки x₀+y при t=T в точку x при t=T+. Полная амплитуда вероятности, как это видно из формулы (3.19), равна интегралу от произведения ядер для двух таких движений свободной частицы.

Предположим, что в момент времени T нами просматривается, скажем, с помощью яркого света, вся ось x за исключением интервала x₀±b. Как только частица обнаружена, мы прерываем опыт. Примем во внимание лишь те случаи, когда полное обследование всей оси, за исключением интервала x₀±b, показывает, что нигде нет ни одной частицы, т.е. исключены все траектории, проходящие за пределами интервала x₀±b. Схема эксперимента приведена на фиг. 3.3. Амплитуду теперь можно написать в виде

(x)=

_b

^{– b}

K(x+x

₀

,T+;x

₀

+y,T)

K(x

₀

+y,T;0,0)dy.

(3.19)

Это выражение записано в соответствии с правилом сложения амплитуд для последовательных во времени событий. Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второе — дальнейшее движение частицы от щели до точки x. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую её точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (3.3). Амплитуда вероятности имеет, таким образом, вид