Квантовая механика и интегралы по траекториям

Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведёт себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной x₁, среднеквадратичное отклонение которой составляет

x

₁

=

h

mb

.

(3.30)

Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение x₁, а не сама переменная x₁. Поскольку в этом члене появляется константа h, ясно, что по природе своей он — квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой.

Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределённость в их последующем положении. Эта неопределённость x₁ пропорциональна интервалу времени между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением её положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создаёт в значении её скорости неопределённость, величина которой равна

v=

h

mb

.

(3.31)

Связанный с шириной щели параметр 2b мы могли бы рассматривать как меру неопределённости координаты частицы в момент её прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределённость через x и записать произведение mv как импульс p, то выражение (3.31) приобретает вид

px=2h.

(3.32)

Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределённости: хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последующее положение частицы приобретает такую дополнительную неопределённость, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины x получала случайный импульс p. Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределённость в импульсе.

Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)? Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения x от - до +, то в результате получим

P(для всех x)=

m

2hT

b

.

(3.33)

Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь щель. Существует и другой способ получения этого результата. Предположим, что мы знаем квадрат модуля ядра K(x₀+y,T;0,0), составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесённая к единице длины вероятность попадания частицы в точку щели x₀+y

P(x

₀

+y)dy=

m

2hT

dy.

(3.34)

Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив её на ширину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель. Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна b. Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной 2b.

Задача 3.3. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по x, покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель

P(пройти сквозь щель)=

m

2hT

2b.

(3.35)

В ходе решения этой задачи появится интеграл

–

e

^iax

dx,

(3.36)

который является интегральным представлением дираковской -функции (a) ¹).

¹) См. таблицы интегралов в приложении к этой книге и в [2].

Таким образом, квантовомеханические результаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.

Импульс и энергия. Убедимся теперь ещё раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как e^ikx. Для этого вернёмся к подробному изучению амплитуды, заданной выражением (3.26). На этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.

Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределённость скорости порядка b/T. При любой заданной ширине щели, выбирая время T очень большим, можно сделать эту неопределённость пренебрежимо малой. Координату x₀ можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость x₀/T=v₀ не обращалась в нуль. Считая v₀ и интервал времени постоянными, в пределе при T-> получаем следующее выражение для амплитуды:

(x)

const

(1+h/2mb^2) ^1/2

exp

imx^2

2h

+

m^2(x-v₀)^2

4h^2^2(im/2h-1/2m^2)

.

(3.37)

Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределённость импульса h/m стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1/m^2 можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде

(x)

const·exp

imv₀

h

x-

imv₀^2

2h

.

(3.38)

Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен p, то амплитуда вероятности достижения ею точки x в момент времени t

(x)

const·exp

i

h

px-

i

h

p^2

2m

t

.

(3.39)

Мы видим, что это волна с определённым волновым числом k=p/h. Кроме того, она имеет определённую частоту =p^2/2mh. Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом p обладает энергией, определяемой как произведение частоты на постоянную h, которая, так же как и в классической механике, равна p^2/2m.

Вероятность попадания в какую-либо точку p, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в этом случае оказывается не зависящей от p. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о её положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который даёт нам точное значение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения её положения. Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2b, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о её скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это ещё одна иллюстрация принципа неопределённости.

§ 3. Результаты в случае щели с резкими краями

От предельного случая вернёмся теперь к случаю, когда ширина щели и квантовомеханическое уширение сравнимы по их величине, а времена и расстояния не слишком велики. Мы уже видели, что гауссова щель приводит к гауссову распределению. Если использовать более реальную щель с резкими краями и вычислить возникающие интегралы Френеля, то распределение вероятности спустя время после прохождения щели подобно кривым, изображённым на фиг. 3.6.