Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина E является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция разности времён T=t2– t1. Оно обращается в нуль при отрицательном T и начинает осциллировать при значении T=0. Преобразование от временного к энергетическому представлению эквивалентно преобразованию Фурье. Так как волна образуется сразу при T=0, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов),
Фиг. 5.4. Действительная часть ядра K0 (описывающего движение свободной частицы) как функция времени.
Для отрицательных моментов времени эта функция обращается в нуль, в точке t=0 она скачкообразно возрастает, а далее имеет вид косинусоидальной волны с постоянной амплитудой и частотой.
Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель
i
=PP
i
+
E
2
1
–
p^2
2m
.
E
0
– p
2
2m+i
E
2
– p^2/2m
1
1
(5.19)
Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным возникновением колебаний при t=0. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное p^2/2m однако вблизи точки t=0 энергия не определяется этой классической формулой.
Задача 5.2. Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае
k(x
2
,E
2
;x
1
,E
1
)
=
e
(ih)E2t2
K(x
2
,t
2
;x
1
,t
1
)
e
– (i/h)E1t1
dt
2
dt
1
.
(5.20)
Покажите, что для системы с не зависящим от времени гамильтонианом H
k(x
2
,E
2
;x
1
,E
1
)
=
2hi
(E
2
– E
1
)
m
m(x2)*m(x1)
E1– Em+i
,
(5.21)
где m — собственные функции, а Em — собственные значения оператора H.
§ 2. Измерение квантовомеханических величин
Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен p. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных. Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, как и в пространственно-временном представлении, которым до сих пор пользовались.
Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует возможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы A (например, x-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности P(a); оно даст нам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение A будет найдено равным a.
В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет зависеть от других переменных, необходимых для её полного определения. Посмотрим, что повлечёт за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений. Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством G. Например, G может означать утверждение: значение величины A равно a. У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос.
Пусть некоторый прибор устроен таким образом, что если частица обладает свойством G, то она пройдёт через него и в определённом месте какого-то экрана или какой-то измерительной шкалы появится соответствующая отметка.
Вероятность такого события можно записать как
P(G)=
K
exp
(,x)
f(x)
dx
^2
,
(5.22)
если f(x) — волновая функция измеряемой системы, Kexp(,x) — ядро, описывающее прохождение частицы через данный экспериментальный прибор, а — точка, в которую попадает частица, обладающая свойством G. Эту вероятность можно представить также и в ином виде:
P(G)=
g*(x)
f(x)
dx
^2
,
(5.23)
где мы положили
g*(x)
=
K
exp
(,x)
.
(5.24)
(Задание этой функции в комплексно-сопряжённом виде принято, как мы увидим далее, только ради удобства.) Таким образом, мы можем сказать, что функция
(G)=
g*(x)
f(x)
dx
(5.25)
представляет собой амплитуду вероятности того, что система обладает свойством G. Это построение иллюстрируется фиг. 5.5.
Фиг. 5.5. Устройство, предназначенное для измерения свойства G, помещено между точкой входа налетающей частицы [волновая функция которой f(x)] и точкой выхода x=
Устройство преобразует ядро, описывающее движение (ср. фиг. 5.1 и 5.2) таким образом, что оно становится равным g(x). Произведение f(x)g(x), проинтегрированное по переменной x, представляет собой амплитуду вероятности достичь точки после прохождения через устройство.