Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
–
t2
t1
*
m
(x
3
)
V(x
3
,t
3
)
n
(x
3
)
x
x
dx
3
exp
i
h
[E
m
(t
3
– t
2
)
– E
n
(t
3
– t
1
)]
dt
3
.
(6.70)
Задача 6.15.
Обозначим для краткости
V
mn
(t
3
)
=
–
*
m
(x
3
)
V(x
3
,t
3
)
n
(x
3
)
dx
3
(6.71)
(эта величина иногда называется матричным элементом потенциала V, взятым между состояниями n и m). Тогда формулу (6.70) можно записать в виде
(1)
mn
=-
i
h
e
– (i/h)Emt2
e
(i/h)Ent1
t2
t1
V
mn
(t
3
)
e
(i/h)(Em– En)t3
dt
3
.
(6.72)
Мы получили важный результат нестационарной теории возмущений. Коэффициент mn представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени t2 система будет обнаружена в состоянии m, если первоначально она находилась в состоянии n.
Предположим, что волновая функция в момент времени t1 была равна n(x1). Спрашивается, какой она станет в момент времени t2? Используя соотношение (3.42), можно представить эту функцию в момент времени t2 как
–
K
V
(2,1)
n
(x
1
)
dt
1
=
=
k
l
kl
k
(x
2
)
–
*
l
(x
1
)
n
(x
1
)
dt
1
=
k
kn
k
(x
2
)
.
(6.73)
Это
означает, что волновая функция в момент времени t2 имеет вид
m
C
m
m
(x
2
)
.
Такое разложение по собственным функциям впервые применялось в формуле (4.48). Теперь можно придать более глубокий смысл постоянным Cm, а именно интерпретировать их как амплитуды вероятности обнаружения системы в состояниях m. В этом частном случае Cm равно mn и представляет собой амплитуду вероятности того, что в момент времени t2 система будет находиться в состоянии m, если в момент времени t1 она была в состоянии n.
Если система находится в состоянии n и на неё не действует потенциал, то она будет всегда находиться в этом состоянии с амплитудой, которая изменяется со временем. Таким образом, в нулевом порядке mn = mn exp [-(iEn/h)(t2– t1)]. Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг. 6.11): амплитуда вероятности рассеяния из состояния n в состояние m за промежуток времени dt равна– (i/h)Vmndt.
Фиг. 6.11. На систему, находящуюся вначале на n-м энергетическом уровне, действует потенциал V, который «рассеивает» систему во все возможные для неё состояния.
При этом амплитуда рассеяния в k-е состояние будет пропорциональна Vkn. В частности, амплитуда рассеяния из состояния n в состояние m за время dt равна -(i/h)Vmndt.
Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.
Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента во втором порядке теории возмущений:
(2)
mn
=-
1
h^2
t2
t1
t4
t1
k
exp
–
i
h
E
m
(t
2
– t
4
)
V
mk
(t
4
)
x
x
exp
–
i
h
E
k
(t
4
– t
3
)
V
kn
(t