Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фиг. 6.13. Поведение подынтегральной функции.

Разность энергий E_m– E_n выражена переменной x. Когда обе эти энергии становятся приблизительно равными (другими словами, когда x очень мало), функция sin^2x/x^2 достигает своей максимальной величины. Для бо'льших значений разности энергий эта функция становится очень малой. Поэтому во всех выражениях, в которые входит эта функция, основная часть вклада привносится центральной областью, т.е. областью, где энергии E_m и E_n приблизительно равны друг другу.

Если матричный элемент V_mn изменяется не очень быстро, так что мы можем заменить его некоторым средним значением, и если, кроме того, плотность уровней (E_m) также изменяется медленно, то интеграл (6.83) можно достаточно точно представить выражением

4|V

_mn

|^2

(E

_n

)

_Em

sin^2[(E_m– E_n)T/2h]

(E_m– E_n)^2

dE

_n

.

(6.84)

Так как

^–

[(sin^2x)/x^2]dx

=,

то интеграл (6.84) равен T/2h и в результате получаем, что вероятность перехода в некоторое состояние непрерывного спектра выразится в виде

P(n->m)

=

2

|V

_mn

|^2

(E_n)T

h

;

(6.85)

при этом энергия в конечном состоянии останется той же, что и в начальном. Отсюда вероятность перехода в единицу времени мы можем записать как

dP(n->m)

dt

=

2

h

|M

_n->m

|^2

(E)

,

(6.86)

где величина M_n->m называется матричным элементом перехода, а (E) — плотность уровней в конечном состоянии. В нашем случае матричный элемент M_n->m совпадает с V_mn если же перейти к более высоким порядкам разложения по _mn, то вид этого элемента становится гораздо сложнее.

Выражение (6.86) можно записать иначе, а именно как вероятность перехода за единицу времени из состояния n в некоторое заданное состояние m.

dP(n->m)

dt

=

2(E_n– E_m)|M_n->m|^2

h

(6.87)

Тогда, после того как мы просуммируем по всем состояниям m, останутся лишь те, для которых E_n=E_m. Сделав замену

^m

– >

dE

_m

(E

_m

)

,

получим в результате формулу (6.86).

Выражение (6.86) мы можем проиллюстрировать на примере (который ранее был рассмотрен с несколько другой точки зрения) рассеяния электрона в потенциальном поле (см. § 4). Предположим, что на свободную частицу действует центральная сила с потенциалом V(r) и мы хотим изучить рассеяние этой частицы при переходе из некоторого начального состояния с определённым значением импульса в конечное состояние с другим значением импульса, имеющим новое направление. Будем считать, что начальное состояние n описывается плоской волной с импульсом p₁ так что волновая функция _n имеет вид exp (ip₁·r/h) (функция нормирована таким образом, чтобы интеграл от квадрата модуля |_n|^2 по единичному объёму был равен единице). Допустим, что конечное состояние также описывается плоской волной с импульсом p₂ и, следовательно, его волновая функция _m есть exp (ip₂·r/h). Тогда для матричного элемента V_mn будем иметь

V

_mn

=

_r

e

^{– (i/h)p₂·r}

V(r)

e

^(i/h)p₁·r

d^3r

=

v(p)

,

(6.88)

где p=p₂– p₁. В процессе такого рассеяния энергия будет сохраняться, поэтому p^2₂/2m=p^2₁/2m. Это означает, что абсолютные значения импульсов p₁ и p₂ равны. Положим их равными p, т.е.

|p

₁

|

=

|p

₂

|

=

p.

В соответствии с принятым нами соглашением относительно записи элемента объёма в импульсном пространстве число состояний, имеющих импульсы в элементе объёма d^3p₂, равно d^3p₂/(2h)^3 = p^2 dp d/(2h)^3, где d — элемент телесного угла, содержащий вектор импульса p₂. Дифференциал энергии dE и элементарный объём в пространстве импульсов связаны соотношением

dE

=

d

p^2

2m

=

p dp

m

.

(6.89)

Таким образом, плотность импульсных состояний частиц, вылетающих в телесный угол d,

d(E)

=

1

dE

d^3p₂

(2h)^3

=

mp d

(2h)^3

=

(E) d

.

(6.90)

Подставив эти соотношения в формулу (6.86), определим вероятность перехода за 1 сек в элемент телесного угла d:

dP

dt

=

1

2h^2

^2

mp d

|v(q)|^2

.

(6.91)

Обозначим эффективную площадь мишени (эффективное сечение рассеяния в телесный угол d) как d (ср. § 4 и 6 ). Так как в качестве исходных мы взяли волновые функции _n, нормированные на единичный объём (другими словами, относительная вероятность обнаружить частицу в каком-либо единичном объёме равна у нас единице), то число частиц, попадающих на площадь d в единичное время, равно произведению эффективного сечения на скорость налетающих частиц u₁=p₁/m. Поэтому

dP

dt

d

=

u

₁

d

=

p₁

m

d

.

(6.92)

Для эффективного сечения отсюда следует выражение

d

d

=

m

2h^2

^2

|v(q)|^2

,

(6.93)

которое в точности совпадает с ранее полученным выражением

Задача 6.23. Покажите, что для сечения d/d получится тот же самый результат и в том случае, если волновая функция _n нормирована на единицу в некотором произвольном объёме V.