Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ->0 и даёт нам математически правильное выражение:
M
n->m
=
V
mn
+
k
VmkVkn
Ek– En– i
(6.100)
(для
Прежде всего следует заметить, что при больших значениях T мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную T) лишь в том случае, когда энергии En и Em практически равны друг другу (с точностью до величин порядка h/T). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда EkEm; если же энергия Em не слишком близка к En, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией Ek для всех значений Ek, близких к Em. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи Ek=Em, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор
e(i/h)T– 1
d
,
где =(Em– Ek). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от - до +. Имеем
–
e(i/h)T– 1
d
=
T/h
– T/h
eiy– 1
y
dy
=
T/h
– T/h
cos y-1
y
+
i sin y
y
dy
.
(6.101)
Первый интеграл в этом выражении берётся от нечётной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда T-> (так как T/h->):
2i
0
sin y
y
dy
=
2i,
так что вероятность перехода невелика. Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии En и Em практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (Ek– En)– 1 и (Em– Ek)– 1 приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что Em и En приблизительно равны.
Выбрав некоторое малое значение энергии , разделим сумму по k в выражении (6.98) на две части: часть A, для которой |Ek– En|>=, и часть B, для которой |Ek– En|<. Величину мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент VmkVkn был приблизительно постоянен, когда энергия Ek будет принимать значения в интервале 2 вблизи точки En. Выбранная таким образом величина разности энергий является конечной величиной, и T можно взять настолько большим, чтобы выполнялось h/T << , а это означает, что |En– Em|<<.
Итак, для части A выполняется неравенство |Ek– En|>=. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов. Вклад вносит только первый член, и он равен
a
eix– 1
x
T
h
,
(6.102)
где x=(Em– En)T/h
иa
=
(A)
k
VmkVkn
Ek– En
.
Суммирование здесь выполняется по всем значениям Ek, за исключением тех, которые попадают в интервал ± вблизи Em. Эта сумма почти не зависит от , и когда ->0, она определяет главное значение интеграла. Поэтому в пределе при ->0 мы можем написать
a
=
V
mn
+
k
V
mk
V
kn
PP
1
Ek– En
,
(6.103)
где выписан член первого порядка и символом PP отмечено, что он берётся в смысле главного значения.
В части B мы будем считать фактор VmkVkn постоянным и равным его значению в точке Ek=Em. Другими словами, мы заменим
(B)
k
V
mk
V
kn
F(E
k
)
выражением
k
V
mk
V
kn
(E
k
– E
m
)
Em+
Em–
F(E
k
)
dE
k
,
(6.104)
которое запишем как в I, где
b
=
k
V
mk
V
kn
(E
k
– E
m
)
(6.105)
и
I
=
Em+
Em–
dEk
Ek– En
e(i/h)(Em– En)T– 1
Em– En
–
e(i/h)(Em– Ek)T– 1
Em– Ek
.
(6.106)
Положив далее (Em– En)(T/h)=x и (Ek– En)(T/h)=y, так что (Em– Ek)(T/h)=x-y, получим
I
=
T
h
T/h
– T/h
dy
y
eix– 1
x
–
ei(x-y)– 1
x-y