Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
.
(6.107)
Этот интеграл легче всего вычислить интегрированием по контуру, считая y комплексной переменной и деформируя контур интегрирования. Вместо интегрирования по прямой от -T/h до T/h будем интегрировать по полуокружности радиуса T/h ниже действительной оси. Поскольку отношение T/h очень велико, а вклад второго члена пренебрежимо мал и поскольку
T/h
– T/h
dy
y
=
i
,
мы получим I=i(T/h)(eix– 1)/x. Складывая части A и B, получаем, наконец, выражение для амплитуды
(a+ib)
(eix– 1)T
xh
.
(6.108)
Соответствующая
M
n->m
=
a+ib
=
V
mn
+
k
V
mk
V
kn
PP
1
Ek– En
+
i
(E
k
– E
m
)
.
(6.109)
Подобно тому как это уже было сделано в соотношении (6.100), последнюю скобку можно записать как (Ek– Em– i)– 1, где необходимо взять предел при ->0.
Из формулы (6.100) мы видели, что даже в том случае, когда невозможен прямой переход n->m из состояния n в состояние m, тем не менее можно допустить, что такой переход может осуществляться через некоторое так называемое промежуточное состояние.
Этот процесс можно себе представить следующим образом: система, которая находилась первоначально в состоянии n, переходит из этого состояния в некоторое промежуточное состояние k и затем уже из состояния k переходит в конечное состояние m. Амплитуда такого опосредствованного перехода определяется формулой (6.99). Однако физически неправильно было бы говорить, что рассматриваемый процесс действительно осуществляется через то или иное промежуточное состояние k; фактически это утверждение лишь отражает тот факт, что в характеристиках поведения квантовомеханической системы имеются определённые амплитуды вероятности переходов через различные промежуточные состояния k и что вклады от этих амплитуд интерферируют друг с другом 1).
1) Иными словами, даже в случае, когда невозможен прямой переход n->m, имеется конечная вероятность найти систему в состоянии m, находившуюся первоначально в состоянии n, что можно понимать как переход в состояние m через некоторое промежуточное состояние.— Прим. ред.
Энергия промежуточных состояний не совпадает с энергией начального и конечного состояний; тем не менее закон сохранения энергии здесь не нарушается, поскольку система пребывает в промежуточном состоянии лишь кратковременно. Величина вклада в общую сумму в этом случае убывает обратно пропорционально разности энергий. Об этих промежуточных состояниях мало что можно сказать. Они возникают лишь при рассмотрении потенциала V как возмущения системы с гамильтонианом H, когда реальные состояния системы с гамильтонианом H+V выражаются только лишь через состояния системы с гамильтонианом H. Если в задаче используется другое разбиение на «возмущённую» и «невозмущённую» системы, то в нашем описании появятся другие формулы и другие промежуточные состояния. Много интересных эффектов возникает в случае, когда потенциал зависит от времени (например, периодически). Большинство из них наблюдалось в микроволновых экспериментах, где в качестве возмущения V(x,t) применялось слабое и периодически изменяющееся во времени электрическое или магнитное поле.
Задача 6.27. Для потенциалов, периодически изменяющихся во времени, получите ряд теории возмущений до членов второго порядка включительно.
Иногда переход может происходить лишь через два или большее число промежуточных состояний. Анализ таких переходов требует рассмотрения в ряде теории возмущений членов третьего и более высоких порядков.
Задача 6.28. Покажите, что в случае, когда невозможен ни прямой переход, ни переход через одно промежуточное состояние и требуется рассматривать сразу два промежуточных состояния, матричный элемент
перехода имеет видM
n->m
=
k
l
VmkVklVln
(Em– Ek)(Em– El)
(6.110)
что соответствует члену третьего порядка в разложении теории возмущений.
Задача 6.29. Предположим, что одновременно действуют два возмущения: V(x,t) и U(x,t), которые представляют собой, например, некоторую комбинацию постоянного и переменного электрических полей или комбинацию электрического и магнитного полей. Предположим далее, что ни одно из этих возмущений V или U порознь не может вызвать переход системы из одного состояния в другое. Это становится возможным, лишь когда оба возмущения действуют совместно. Полагая возмущения V и U не зависящими от времени, покажите, что матричный элемент перехода определяется выражением
M
n->m
=
k
VmkUkn+UmkVkn
Em– Ek
.
(6.111)
Допустим теперь, что оба потенциала изменяются периодически во времени, но с различными частотами 1 и 2. Каков будет в этом случае матричный элемент?
Расчёт сдвига энергии состояния. При вычислении амплитуд переходов мы рассматривали лишь те состояния, у которых n/=m. Обратимся теперь к случаю, когда m=n. Рассмотрев члены нулевого и первого порядков в разложении теории возмущений, имеем
mm
=
1-
i
h
T
V
mm
(t)
dt
.
(6.112)
Если V не зависит от времени, то mn=1-(i/h)VmmT. Что означает этот результат? Можно ожидать, что добавка к основному гамильтониану потенциала V приведёт к тому, что энергии всех состояний системы несколько изменятся. Новые значения энергий можно записать как Em+Em. Зависящая от времени часть волновой функции, описывающей это состояние, будет теперь иметь вид exp[(-i/h)(Em+Em)t] вместо экспоненты exp(-i/h)Emt, которая была раньше.
Вследствие этого за время T, в течение которого действует возмущающий потенциал, возникает относительная разность фаз, выражаемая экспоненциальным множителем
exp
–
i
h
E
m
T
.
С точностью до первого порядка разложение этого множителя в ряд по времени имеет вид 1-(i/h)EmT. Отсюда видно, что в первом порядке величина сдвига энергии в состоянии m, обусловленная потенциалом V, составляет
E
m
=
V
mm
.
(6.113)
Такой вывод выражения для сдвига энергии в первом порядке теории возмущений неудовлетворителен в случае, когда система вырождена, т.е. если вначале имеется очень много состояний с одной и той же энергией. Оказывается, в этом случае члены второго порядка по V дают эффекты такой же величины, что и члены первого. Учёт членов второго порядка в разложении матричного элемента перехода даёт