Квантовая механика и интегралы по траекториям

Всю эту главу можно разделить на четыре части. Вначале дадим определение амплитуд и матричных элементов перехода на основе теории возмущений, развитой в гл. 6. Во второй части, охватывающей § 2—4, сформулируем некоторые представляющие общий интерес соотношения для матричных элементов перехода. В третьей части (§ 5) покажем, как связаны между собой матричные элементы перехода, определённые с помощью интегралов по траекториям, и величины, описывающие то же явление, но определённые с помощью обычных квантовомеханических операторов. Наконец, в последней части (§ 6 и 7) применим результаты предыдущих параграфов к решению двух частных интересных квантовых задач.

§ 1. Определение матричных элементов перехода

Изменение квантовомеханической системы во времени можно представить себе следующим образом. В начальный момент t₁ состояние описывается волновой функцией (x₁,t₁). В более поздний момент времени t₂ это начальное состояние переходит в состояние (x₂,t₂).

Предположим, что в момент t₂ мы задаём вопрос: какова вероятность найти систему в некотором состоянии (x₂,t₂)? Как мы знаем из общих соображений, развитых в гл. 5, вероятность того, что система будет находиться в определённом состоянии, пропорциональна квадрату модуля амплитуды, определяемой интегралом

*(x

₂

,t

₂

)

(x

₂

,t

₂

)

dx

₂

Из гл. 3 нам также известно, что функция может быть выражена через начальную волновую функцию с помощью ядра K, описывающего движение системы в интервале между моментами времени t₁ и t₂. Поэтому при отыскании вероятности пребывания системы в каком-то определённом состоянии можно исходить из начальной волновой функции , учитывая зависимость от времени с помощью ядра K(2,1).

Результирующую амплитуду, абсолютная величина которой даёт искомую вероятность, назовём амплитудой перехода и обозначим её так:

|1|

=

*(x

₂

)

K(2,1)

(x

₁

)

dx

₂

dx

₁

.

(7.1)

При описании процесса перехода для нас было бы сейчас предпочтительнее вернуться к более общим обозначениям. Введём для этого снова функцию действия S, описывающую поведение системы в интервале между двумя моментами времени, и запишем амплитуду перехода в виде

|1|

_S

=

_x2

^x₁

*(x

₀

)

e

^iS/h

(x

₁

)

Dx(t)

dx

₁

dx

₂

.

(7.2)

Здесь мы применяем более точное обозначение, добавив в амплитуду перехода индекс S, чтобы указать величину действия, входящего в интеграл. Этот интеграл необходимо взять по всем траекториям, которые соединяют точки x₁ и x₂, результат умножить на две волновые функции и затем ещё раз проинтегрировать по всем пространственным переменным в указанных пределах.

Прежде чем пойти дальше, договоримся о новых, лучших обозначениях, с тем чтобы охватить более общие случаи. Введём функционал F[x(t)], не касаясь пока его физической природы. С помощью этого функционала определим матричный элемент перехода как

|F|

_S

=

*(x

₂

)

F[x(t)]

e

^iS/h

(x

₁

)

Dx(t)

dx

₁

dx

₂

.

(7.3)

Здесь F — некоторый функционал от x(t), не зависящий от значений функции x(t) на границе и вне области изменения переменных x₁ и x₂. В частном случае, когда F=1, интеграл (7.3) определяет амплитуду перехода.

Матричные элементы перехода трудно представить себе, если опираться на интуитивные понятия. Поэтому для того, чтобы хотя бы частично использовать такие понятия, обычно обращаются к некоторой классической аналогии. Рассмотрим, например, картину броуновского движения какой-то очень маленькой частицы. Пусть в некоторый начальный момент t=t₁ эта частица находится в точке x₁ и мы ищем вероятность того, что частица достигнет точки x₂ в момент t=t₂. В случае квантовомеханических частиц мы обычно говорим о переходе из начального в некоторое конечное состояние. Поэтому точка x₁ для броуновской частицы соответствует начальной волновой функции (x₁) в выражении (7.2), а точка x₂ — функции (x₂). Далее, решение квантовомеханической задачи требует интегрирования по переменным x₁ и x₂ начального и конечного состояний — шаг, совершенно ненужный в нашей классической задаче.

Классическую задачу можно решить, рассматривая все возможные траектории движения частиц. При этом мы должны были бы вклад каждой траектории брать с весом, равным вероятности того, что частица действительно следует вдоль такой траектории, и вычислить интеграл по всем траекториям. Весовая функция здесь будет соответствовать члену e^iS/h, входящему в интеграл (7-2).

Конечное положение частицы в такой задаче не будет определяться отдельной точкой, а выразится некоторой малой окрестностью точки x₂ (от x₂ до x₂+dx). После соответствующей нормировки результат будет иметь вид функции распределения P(x₂)dx₂, определяющей вероятность достижения бесконечно малой окрестности точки x₂. Эта функция является аналогом амплитуды перехода (7.2), в случае, когда и являются -функциями пространственных координат.

Допустим теперь, что мы хотим узнать о движении несколько больше, чем просто относительную вероятность достижения точки x₂: например, мы хотели бы найти ускорение, которое будет иметь частица через некоторое определённое время (скажем, 1 сек) после начала движения. Для этого нам нужно было бы знать вероятные значения всех ускорений, т.е. величину ускорения для каждой возможной траектории, взятую с весом, равным вероятности движения вдоль этой траектории. Такая усреднённая величина будет соответствовать матричному элементу перехода (7.3). Суть этого утверждения заключается в том, что в подынтегральную функцию соотношения (7.3) мы вместо функции F[x(t)] должны подставить ускорение, взятое в некоторый момент времени t. С помощью интегралов по траекториям решение классической задачи можно представить в виде, очень похожем на соотношение (7.3).

Далее в этой главе мы будем пользоваться подобной аналогией и время от времени будем рассматривать матричные элементы перехода как «взвешенные средние». Необходимо, однако, помнить, что весовая функция в квантовой механике является комплексной величиной и поэтому результат не будет «средним» в обычном смысле этого слова.

Описание броуновского движения методом интегралов по траекториям, как это было показано в нашей классической аналогии, действительно является очень мощным методом. Детально это будет рассмотрено в гл. 12, а сейчас мы с помощью теории возмущений, развитой в гл. 6, попытаемся ещё несколько прояснить смысл матричного элемента перехода.

Случай малых возмущений. Предположим, что действие, описывающее движение системы, можно разделить на две части: S=S₀+, где S₀ приводит лишь к простым интегралам по траекториям, в то время как оставшаяся часть а достаточно мала и мы можем применить метод теории возмущений. Экспоненциальную функцию в соотношении (7.2) представим в виде

e

^iS/h

=

e

^iS₀/h

e

^i/h