Квантовая механика и интегралы по траекториям

Задача 6.24. Пусть потенциал V — периодическая функция времени. Например, положим V(x,t) = V(x)(e^it+e^{– it}). Покажите, что вероятность перехода мала, если только конечное состояние не совпадает с одним из следующих двух состояний: 1) состояние, энергия которого E_кон=E_нач+h (это будет соответствовать поглощению энергии), или 2) состояние, где E_кон=E_нач– h (что соответствует излучению энергии). Это означает, что вид формулы (6.86) не изменяется, однако плотность состояний (E) должна вычисляться для этих новых значений E. Аналогично соотношению (6.87) мы имеем

dP(n->m)

dt

=

2

h

|M

_n->m

|^2

[(E

_m

– E

_n

– h)

+(E

_m

– E

_n

+h)]

.

(6.94)

Задача 6.25. Явление фотоэффекта показывает, что не только уравнениям механики, но и всем электродинамическим соотношениям следует придать квантовую форму. Это явление заключается в том, что свет частоты , попадая на тонкий слой металла, с определённой вероятностью вызывает испускание электрона с энергией h. Возможен ли такой эффект, если вещество подчиняется квантовым законам, а свет по-прежнему будет рассматриваться как непрерывная волна? Какие соображения (используя результаты задачи 6.24) вы можете привести в пользу того, что нам необходимо отказаться от аппарата классической электродинамики?

Задача 6.26. Предположим, что мы имеем два дискретных энергетических уровня E₁ и E₂ и ни один из них не принадлежит непрерывному спектру. Пусть переход вызывается потенциалом вида V(x,t) = V(x)f(t). Покажите, что вероятность перехода составит

P(n->m)

=

|V

₁₂

|^2

|(

₀

)|^2

,

(6.95)

если функцию f(t) можно представить в виде интеграла Фурье

f(t)

=

^–

e

^it

d

2

(6.96)

и положить ₀=(E₂– E₁)/h. В случае, когда f(t) — известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина , определяемая обратным преобразованием

=

_T

^{– T}

f(t)

e

^it

et

,

(6.97)

оказывается зависящей от размеров T области изменения переменной интегрирования t, T. Если T очень велико, то можно показать, что квадрат абсолютной величины |(₀)|^2 пропорционален T. В итоге мы получим вероятность перехода, пропорциональную произведению времени и «интенсивности» f на единицу интервала частоты, взятую при значении ₀ («интенсивность», или «мощность», равна среднеквадратичному значению функции f за время 1 сек). Таким образом, вероятность перехода атома в область непрерывного спектра пропорциональна, во-первых, времени экспозиции и, во-вторых, интенсивности поглощения света с частотой (E₂– E₁)/h.

Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний m и n потенциал V_mn. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния k/=m для которых V_km/=0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку n/=m, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.

Предположим, что потенциал V не зависит от времени t. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен ^2_mn, и если T=t₂– t₁, то из соотношения (6.74) будет следовать, что

e

^{(i/h)(E_mt₂– E_nt₁)}

₍₂₎

^mn

=-

1

h^2

^k

V

_mk

V

_kn

_T

⁰

dt

₄

_t3

⁰

dt

₃

x

x

e

^{(i/h)(E_m– E_k)t₄}

e

^{(i/h)(E_k– E_n)t₄}

=

=

i

h

^k

V

_mk

V

_kn

_T

⁰

e

^{(i/h)(E_m– E_k)t₄}

(e

^{(i/h)(E_k– E_n)t₄}

– 1)

dt₄

E_k– E_n

=

=

^k

V_mkV_kn

E_k– E_n

e^{(i/h)(E_m– E_n)T}– 1

E_m– E_n

–

e^{(i/h)(E_m– E_k)T}– 1

E_m– E_k

.

(6.98)

Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной T, описывает переход в состояния с энергией E_m=E_n. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент M_n->m принимает вид

M

_n->m

=

^k

V_mkV_kn

E_k– E_n

.

(6.99)

Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.

Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние m, но и в любое состояние k, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае V_kn=0 для всех состояний, у которых E_k=E_n. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность E_n– E_k почти равна нулю, но при этом и величина V_kn в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по k в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке E_k=E_m, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении E_k, что и знаменатель.