Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
3
)
exp
–
i
h
E
n
(t
3
– t
1
)
dt
3
dt
4
.
(6.74)
Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение
mn
(t
2
,t
1
)
=
mn
exp
–
i
h
E
m
(t
2
– t
1
)
–
–
i
h
t2
t1
exp
–
i
h
E
m
(t
2
– t
3
)
k
V
mk
(t
3
)
kn
(t
3
,t
1
)
dt
3
.
(6.75)
Задача 6.19.
d
dt2
mn
(t
2
)
=-
i
h
k
exp
i
h
(E
m
– E
n
)t
2
x
x
V
mk
(t
2
)
kn
(t
2
)
–
i
h
E
m
mn
(t
2
)
.
(6.76)
Дайте физическую интерпретацию этого результата. Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шрёдингера.
Замечание. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив её в уравнение Шрёдингера.
Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием mn(t1)=mn может быть использовано для непосредственного определения коэффициента .
Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии с правилом, которое гласит: выражение -(i/h)Vmn(t)dt является амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) из состояния n в состояние m в течение промежутка времени dt, вызванного потенциалом V. Переход из состояния n в состояние m может произойти посредством 0, 1, 2, … и большего числа рассеяний. Прямой переход из одного состояния в другое без рассеяния может происходить только в случае, когда m=n; именно поэтому первый член в разложении (6.69) пропорционален mn.
Второй член, определяемый формулой (6.72), представляет собой амплитуду вероятности перехода, обусловленного единичным рассеянием. Амплитуда вероятности обнаружения частицы в момент времени t3 в начальном состоянии n равна exp [-iEn(t3– t1)/h]. (В этом случае выражение «вероятность обнаружить частицу в состоянии n» следует понимать
как «возможность рассеяния частицы из состояния n под действием потенциала V».) Амплитуда рассеяния частицы потенциалом V из состояния n в состояние m равна -(i/h)Vmn. Наконец, амплитуда вероятности обнаружить частицу в момент времени t3 в состоянии m (что в данном случае эквивалентно амплитуде вероятности перехода частицы в состояние m за время, в течение которого происходил процесс рассеяния) пропорциональна exp [-iEm(t2– t3)/h]. Это рассеяние может иметь место в любой момент времени в интервале между t1 и t2, поэтому выполняется интегрирование по времени t3 между этими двумя конечными точками.Третий член формулы (6.74) является амплитудой перехода, происходящего вследствие двух актов рассеяния. Первое рассеяние переводит систему из начального состояния n в промужуточное состояние k в момент времени t3. Далее, система остаётся в этом состоянии вплоть до момента времени t4 т.е. до тех пор, пока её способность к рассеянию не будет снова определяться экспоненциальной функцией exp [-(i/h)Ek(t4– t3)]. Следующее рассеяние происходит в момент времени t4 и переводит систему из состояния k в состояние n. Мы интегрируем по всем возможным альтернативным временам рассеяния t4 и t3, требуя лишь, чтобы момент времени t3 предшествовал моменту t4. Далее мы суммируем по всем возможным промежуточным состояниям k, в которые может перейти наша система.
Члены ряда (6.69), для которых мы только что дали интерпретацию, представляют собой основной результат нестационарной теории возмущений. Этот результат применим в случае, когда невозмущённая система имеет постоянный гамильтониан и, следовательно, определённые значения энергии. Перейдём теперь к более подробному изучению некоторых частных случаев этой теории.
Переходы первого порядка. Рассмотрим прежде всего случай, когда конечное состояние системы m отличается от её начального состояния n, и ограничимся только первым борновским приближением, т.е. вторым членом ряда (6.69). Такой подход оправдан для малых значений потенциала V. Амплитуда перехода из состояния m в состояние n
(1)
mn
=-
i
h
t2
t1
e
(i/h)(En– Em)t
V
mn
(t)
dt
e
– (i/h)(Ent2– Emt1)
.
(6.77)
Это очень важный частный случай нестационарной теории возмущений. В качестве первого примера предположим, что V(x,t)=V(x), т.е. что потенциал не содержит явной зависимости от времени. Если мы рассмотрим теперь интервал от t=0 до t=T, то (поскольку матричный элемент Vmn не зависит от времени) получим
(1)
mn
exp
i
h
(E
n
t
2
– E
m
t
1
)
=
=-
i
h
V
mn
T
0
i
h
(E
n
– E
m
)t
dt
=